1990年全国初中数赛试题及答案

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

1．的值是

（A）1                           （B）－1

（C）2                           （D）－2

答（  ）

2．在△ABC中,AD是高,且AD2 = BD·CD，那么∠BAC的度数是

（A）小于90°                    （B）等于90°

（C）大于90°                    （D）不确定

答（  ）

3．方程是实数)有两个实根、，且0＜＜1，1＜＜2，那么k的取值范围是

（A）3＜k＜4                      （B）－2＜k＜－1；

（C）3＜k＜4或－2＜k＜－1            （D）无解

答（  ）

4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是

（A）17          （B）18          （C）35          （D）36

答（  ）

5．△ABC中，，，，设为边上任一点，则

（A）·        （B）·

（C）·        （D）·的大小关系并不确定

答（  ）

6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形

（A）不存在                       （B）只有一个

（C）有有限个，但不只一个         （D）有无穷多个

答（  ）

7．若的尾数是零，且，那么下列四个结论：中，正确的结论的个数是

（1）                （2）

（3）               （3）

（A）1         （B）2          （C）3            （D）4

答（  ）

8．如图，点，，分别在△的边上、、上，

且，那么，△面积的最大值是

（A）                        （B）2

（C）                        （D）3

答（  ）

二、填空题

1．已知，则=              

2．，…，12345672的和的个位数的数字是               

3．方程，有两个整数根，则            

4．△中，，边有100个不同的点，，…，，记·  (1，2，…，100)  则  …=               

第二试

一、已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE = 3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°－2，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE

二、表示不超过实数的最大整数，令

（1）找出一个实数，满足

（2）证明：满足上述等式的，都不是有理数

三、设有个正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出行和列，使得枚棋子都在这行和列中。

1990年全国初中数赛试题答案

第一试

一、选择题

1．（D）

              原式=

                  =

2．（D）

如图，由·，有2·

＝·

＝

即          AB2＋AC2 ＝BC2

可得         ∠BAC＝90°

如图,虽然    ·,点在

△外,∠ACB＞90°,∠BAC＜90°

因此∠的度数不确定

3.（C）

记

由

4.（A）

设这35个连续自然数最小的是,最大的是

∴               

即                  

∴                     

5.（C）

如图,设, ,

在△中,由余弦定理,有

·BP cosB 

在△中,由余弦定理,有

∴               

而           

令y＝ PA2－PB·PC＝x2－5x＋8－2x＋x2 

∴ PA2＞PB·PC 

6.（D）

若能找到6个整数…使满足

（1）…；

（2）≤，≤，≤；

              ≤，≤；

（3）＞． 

则以…为边长的六边形，即可符合要求．

事实上，对任选三整数1≤＜＜≤6，必有≤，可见此六边形的任三边不能构成一个三角形．

现取  ，则,

满足全部条件.

故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n≥4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.

7.  (A)

由.

所以          <0

得,

所以结论(3)与结论(2)都是错误的.

在结论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的.

这样,只有结论(4)是正确的.

事实上,由,可得

又因为.

因为为整数,所以=-1,

即,结论(4)正确.

8.  (B)

首先,若以Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ分别记,则SⅡ,SⅢ,SⅣ均不大于.又因为,

所以易证:≤(,分别为公共边PR上的高,因若作出△PQR关于PR的对称图形PQ’R，这时Q’，A都在以PR为弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ’=Q’R，所以Q’为这弧中点，故可得出h1≤h2）。

从而≤SⅣ≤，这样

=SⅠ+SⅡ+SⅢ+SN≤

最后，当AB=AC-2，∠A=90°时，

S△ABC=2即可以达到最大值2。

二．填空题

1．62

2．5

因  1234567=10×12345678+9

所以所求数字等于

（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即5×8+5=45的个位数的数字，故所求数字为5。

3．8

原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知

  4．400

作AD⊥BC，如图，则BD=DC。

设BD=DC=y，DPi =x,

则

∴.

第二试

一.证明  如图, 连BD, CE.

因.

.

∴    

又∵            ,

.

二.解法1  设≤,

    若    {x}+{}=α+β=1

    ∴是整数。

    令    

    即    

解得  

当易验证它不满足所设等式。

当≥3时，是满足等式的全体实数。

由于不是完全平方数（事实上，若则但当≥3时，

两个平方数之差不小于5）。

所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数。

解法2 （1）取或

      （2）用反证法证明之。

           反设满足等式之x为有理数。

     首先，若x为整数，则{x}=0，代入等式得{}=1，与0≤{}=<1矛盾。

     其次，若x为非整数的有理数。

     令  （其中n，p，q均为整数1. ≤q≤p且（q，p）=1）

  则(其中s,r为整数当n≥0时0≤rnp+q当n≤-1时,np+qr≤0)

         {}=

     若x满足等式，即

即         .

从而得      

           .

即  矛盾.

故满足等式之x都不是有理数.

三.证明  设各行的棋子数分别.且≥≥…≥≥≥…≥.

由题设      ①

    选取含棋子数为的这n行,则

         ≥,

否则, 若≤,    ②

则  中至少有一个不大于1,

由①,②得  ≥,

从而中至少有一个大于1,这与所设矛盾.

选出的这n行已含有不少于2n枚棋子,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚),这样选取的n行和n列包含了全部3n枚棋子.