立体几何多项选择题专项训练及详解

多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

1．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（　　）

A． B． C． D．

解析：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝，这时表面积为•2π•1•l+π•12＝（1+）π；

若绕斜边一周时旋转体为L两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为1，所以表面积S＝22•1＝，综上所述该几何体的表面积为，

答案：AB

2．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β

解析：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；

B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；

C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确

D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．

答案：AC

3．已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（　　）

A．BD⊥CM

B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形

C．DM与BC不可能垂直

D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°

解析：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，如图：取BD的中点E，连接ME，EC，可知ME⊥BD，EC⊥BD，所以BD⊥平面MCE，可知MC⊥BD，所以A正确；

由题意可知AB＝BC＝CD＝DA＝BD，三棱锥是正四面体时，△CDM为等边三角形，所以B正确；

三棱锥是正四面体时，DM与BC垂直，所以C不正确；

三棱锥是正四面体时，直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°，D正确．

答案：ABD

4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（　　）

A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于

B．点C到面ABC1D1的距离为

C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为

D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径为

解析：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，

对于选项A：直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故选项A正确．

对于选项B：点C到面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，即h＝，故选项B正确．

对于选项C：两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故选项C错误．

对于选项D：三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径r＝，故选项D正确．

答案：ABD

5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（　　）

A．CM与PN是异面直线

B．CM＞PN

C．平面PAN⊥平面BDD1B1

D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

解析：A．∵ANCPM共面，因此CM与PN不是异面直线，不正确；

B．∵CM≥AC＝AB，PN＜A1N＝＝AA1＝AB＜AB，因此CM＞PN，因此正确．

C．∵AN⊥BD，AN⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AN⊥平面BDD1B1，∴平面PAN⊥平面BDD1B1，因此正确；

D．过P，A，C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q，则AC∥PQ，且PQ＜AC，因此一定是等腰梯形，正确．

答案：BCD

6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值

C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]

D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

解析：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，

∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，

∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；

在B中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，

∴B1C∥平面 A1C1D，

∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，

又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故B正确；

在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故C错误；

在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），

则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1），＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），

设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），

∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：

＝＝，

∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D正确．

答案：ABD．

7．己知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β

D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β

解析：对A，若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n或者m与n相交，或者m与n异面，所以A错误；

对B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，正确；

对C，若n⊂α，α∥β，则n∥β，又m∥n，m⊄β，所以m∥β，正确；

对D，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，所以m∥β或m⊂β，所以D错误．

答案：BC

8．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是（　　）

A．△PAB是钝角三角形

B．此球的表面积等于5π 

C．BC⊥平面PAC

D．三棱锥A﹣PBC 的体积为

解析：在底面△ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，

利用余弦定理可得：BC＝＝，

所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，

又PC⊥底面ABC，则PC⊥AC，PC⊥BC；

把三棱锥P﹣ABC放入长宽高分别为1、、1的长方体中，如图所示；

所以PA＝，PB＝AB＝2，

所以△PAB是等腰三角形，且顶角小于底角，是锐角三角形，A错误；

三棱锥的外接球也是长方体的外接球，且外接球的直径是长方体的对角线，

即2R＝＝，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积

为S＝4πR2＝π•＝5π，B正确；

又BC⊥AC，BC⊥PC，且AC∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，C正确；

三棱锥P﹣ABC的体积为V＝××1××1＝，D错误．

答案：BC

9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（　　）

A．FM∥A1C1

B．BM⊥平面CC1F

C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D

D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值

解析：A：∵F，M分别是AD，CD的中点，

∴FM∥AC∥A1C1，故A正确；

B：由平面几何得BM⊥CF，又BM⊥C1C，

∴BM⊥平面CC1F，故B正确；

C：BF与平面CC1D1D有交点，

∴不存在点E，使平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；

D：三棱锥B﹣CEF以面BCF为底，则高是定值，

∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故D正确．

答案：ABD

10．如图，在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有（　　）

A．PA∥平面OMN

B．平面PCD∥平面OMN

C．直线PD与直线MN所成角的大小为90°

D．ON⊥PB

解析：如图所示：

根据设棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，各个棱长为a，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，

所以：PA与平面MON相交．故选项A错误．

对于选项B：由于ON∥PD，MN∥AB∥CD，所以平面PCD∥平面OMN，故选项B正确．

对于选项C：由于各个棱长都相等，所以直线PD与直线MN所成角即直线PD与直线CD所夹得角，由于△PCD为等边三角形，所以角的大小为60°，故选项C错误．

对于选项D：在平面PBD中，ON∥PD，由于PD＝PB＝a，BD＝，所以PD2+PB2＝BD2，所以PD⊥PB，故ON⊥PB，选项D正确．

答案：BD

11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是（　　）

A．直线BM与平面ADD1A1平行

B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形

C．异面直线AD1与A1C1所成的角为

D．|MB|+|MD1|的最小值为

解析：

对于A，∵面ABCD∥面A1B1C1D1，BM⊂BCC1B1，即可判定直线BM与平面ADD1A1平行，故正确；

对于B，如图1，平面BMD1截正方体所得的截面可能为四边形，故错；

对于C，如图2，异面直线AD1与A1C1所成的角为，∠D1AC，即可判定异面直线AD1与A1C1所成的角为，故正确；

对于D，如图3，MB+MD1＝MD+MD1，如图4，原问题相当于：AC∥DB，直线AC，BD间距离为1，在AC上找一点M使得到DB（表达）上两点间距离之和最小．

只需找到B关于AC的对称点E，MD+MD1的最小值即为线段ED的长度，ED＝，故正确．

答案：ACD