椭圆典型题型归纳(学生版)课件资料

题型一. 定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；                                 

例2. 方程所表示的曲线是         

练习：

1.方程对应的图形是（     ）

A.直线      B. 线段       C. 椭圆          D. 圆

2.方程对应的图形是（    ）

A.直线      B. 线段       C. 椭圆          D. 圆

3.方程成立的充要条件是（    ）

A.      B.     C.      D. 

4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是     

5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于         ；

6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为         ；

题型二. 椭圆的方程         

（一）由方程研究曲线

例1.方程的曲线是到定点         和         的距离之和等于         的点的轨迹；

（二）分情况求椭圆的方程

例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；

（三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；

例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；

注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；

（四）定义法求轨迹方程；

例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；

（五）相关点法求轨迹方程；

例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； 

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； 

（七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 

题型三.焦点三角形问题

例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；

题型四.椭圆的几何性质

例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为        

例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为        ；

例3.若椭圆的离心率为，则        ；

例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为        

题型五.求范围

例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；

题型六.椭圆的第二定义的应用

例1. 方程所表示的曲线是         

例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；

例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为

例4．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5．已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标．

题型七.求离心率

例1. 椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率        

例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为        

例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为       ；

题型八.椭圆参数方程的应用

例1.椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标        

例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

题型九.直线与椭圆的关系

（1）直线与椭圆的位置关系

例1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？

例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。

例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。

  解：设，： 

把代入椭圆方程得：，即

，， 

∴，此时     

令直线的倾角为，则

即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。

例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。                               

（二）弦长问题

例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。

 分析：若直线与圆锥曲线相交于两点、，

则弦的长度的计算公式为，

而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程，消去（或），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。

  解：设（），则直线的方程为，设直线与椭圆相交于、，由，可得，

，，则

∴，即

∴，又，∴，∴；

例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，

若，为坐标原点，的斜率为，求的值。

例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程

例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；

例2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；

例3. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.

（1）用直线的斜率表示的面积；

（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程．

解：（1）设椭圆的方程为，由，∴a2=3b2

故椭圆方程；

设，由于点分有向线段的比为2．

∴，即

由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0

由直线l与椭圆E相交于两点

③

④

⑤

而  ⑥

由①④得:，代入⑥得：.

（2）因,

当且仅当取得最大值．

此时，又∵，∴；

将及代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程．

例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题

例1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； 

例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

题型十.最值问题

例1．若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。

分析：欲求的最大值和最小值

o

可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

,为椭圆的左焦点。

解：，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知

当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。

因为，所以,；

结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；

例2．,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。

分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1。

解：，连接并延长交椭圆于点M1，

则M在M1处时取最大值；

∴最大值是10+，最小值是。

结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;

2.二次函数法

例3．求定点到椭圆上的点之间的最短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。

解：设为椭圆上任意一点，

由椭圆方程知的取值范围是

（1）若，则时， 

（2）若,则时

（3）若,则

结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

3.三角函数法

例4．求椭圆上的点到直线的距离的最值；

解：三角换元  ∵  ∴令  

则

当时；当时,结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。

4.判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线将代入椭圆方程整理得，由△=0解得,  时直线与椭圆切于点，

则到直线的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与的距离，

所以；

时直线与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以。

结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）

例3．已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：

（1）的最小值；     （2）的取值范围．

解：（1），此时点为过点且垂直于的线段与椭圆的交点；

（2）由椭圆的定义知，故，

①，故

（当且仅当为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；

②，故;

（当且仅当为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）

综上可知，的取值范围为;

题型十一.轨迹问题

例1．到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是     (    )

  A．椭圆          Ｂ．双曲线        Ｃ．直线          Ｄ．线段

例2．已知点，点在圆的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。

例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合

例1．关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.

例2．求函数的最值。