2.1椭圆(1)(教学设计)

2．1．1椭圆及其标准方程

教学目标：

知识与技能目标：

学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程；

过程与方法目标：

通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。

情感、态度与价值观目标：

通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方和认识论。

教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法求曲线方程。

教学难点：椭圆标准方程的建立和推导

教学过程：

一、复习回顾：

1、圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆?

另：平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a＞2d2)的点的轨迹是圆；

另：平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆.

二、创设情境，新课引入：

1、师做一个道具（课本P32探究），观察后请学生回答.

问：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下运动的，轨迹是椭圆.

师提出问题，与学生进一步探究？是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢?

师演示让学生一起思考？

当两个定点位置变化时，转变发生了怎样的变化?

（1）当两个定点重合时，轨迹变化为圆；

（2）当定值等于两个定点间的距离时，轨变是一条线段.

（3）平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点

（4）师生共同小结完成下表

在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为

（1）椭圆——|MF1|+|MF2|＞｜F1F2｜；

（2）线段——|MF1|+|MF2|=｜F1F2｜；

（3）不存在——|MF1|+|MF2|＜｜F1F2｜.

三、师生互动，新课讲解：

   1、椭圆的定义：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞｜F1F2｜.两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示.

   2、椭圆标准方程的推导：

求到两个定点F1、 F2距离之和等于定值2a(2a＞｜F1F2｜)的点的轨迹.

（1）研究曲线方程的一般方法是什么？坐标法

    （2）求曲线方程的一般步骤是什么？

建系：建立适当的直角坐标系；

设点：设M（x,y）是曲线上任意一点；

列式：建立关于x,y的方程f(x,y) =0；

化简：化简方程f(x,y)=0.

检验：说明曲线上的点都符合条件；符合条件的点都在曲线上.

那么此题应如何建立坐标系呢?建立直线坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性.

     教师归纳大体上有如下三个方案：

（1）取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如左图；

（2）以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如中图；

（3）以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如右图；

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图2-27，推导出方程.

解  1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x,y)，

设两定点坐标为：F1(-c,0),F2(c,0)，

2)则M满足：｜MF1｜+｜MF2｜=2a，

3)坐标化即： =2a，

4)化简.

=2a-两边平方得：

(x+c)2+y2=4a2-4a +(x-c)2+y2，

即a2-cx=a，两边再平方得：

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：

(a2-c2)x2+a2y2=a2 (a2-c2).

请结合图形找出方程中a、c的关系.根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成RtΔMOF2的斜边和直角边.

不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢?

方程变化为：.(*)

其中a与b的关系如何?为什么?

a＞b＞0，因为a与b分别是RtΔMOF2的斜边、直角边.

教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：

1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况.)

2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；

3)请学生猜想：若用方案③(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢?

(启发学生根据对称性进行猜想)

方程形式为

请同学们课后进行推导验证.此时方程中a与b的关系又如何?(结合图形请学生 将条件a＞b＞0补上.)

例1：下列哪些是椭圆方程?如果是,请指出其焦点所在的坐标轴．

对椭圆及其标准方程的理解：

⑴ 椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上；

⑵ a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在 x轴上为(－c, 0) 、 (c, 0) ，在 y 轴上为(0, －c)、(0, c)；

⑶ 形如 Ax2＋By2＝C 的方程中，只要A、B、C同号(A≠B)，就表示椭圆．

例2： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴，焦点在轴上；

⑵，焦点在轴上；

⑶

例3（课本P34例1） 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．

解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，

则．

例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点坐标分别是、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是、（0，2），并且椭圆经过点.

解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（＞＞0）

∵，∴，又，∴ 

所求椭圆的标准方程为

（2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（＞＞0）

 由椭圆的定义知

∴         又      ∴

所以所求圆的方程为

课堂练习：（课本P36练习：NO：1；2）

四、课堂小结、巩固反思：

⑴知识小结：学生自己小结                                         

        椭圆定义    

标准方程+=1和+=1（）

⑵方法小结：①用坐标法研究曲线

②用待定系数法和定义法求标准方程

③解题过程中注意数形结合和分类讨论思想方法的应用

⑶实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。 

五、布置作业：

A组：

1、（课本P42习题2.1A组：NO：1）

2、（课本P42习题2.1A组：NO：2（1）（2）（3））

3、已知两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于8,求椭圆的标准方程

解： ∵椭圆的焦点在x轴上   

     ∴设它的标准方程为: +=1

             ∵ 2a=8, ∴ a=4,

又c=3，

             ∴ 

             ∴所求椭圆的标准方程为          

4、(tb2514403)已知椭圆与椭圆共焦点，且通过点(3,-2)，求该椭圆的方程。（答：）

5、(tb2514302)已知椭圆的焦距为2，求该椭圆方程。(答：)

B组：

1．已知椭圆的一个焦点为（0，2），求的值.

解：方程变形为    ∵焦点在轴上，    ∴，

又且，  ∴，    ∴

2．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围.

解：由题意得         即

故所求实数的取值范围是