第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：
1.公式多，变换多，技巧多；
2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；
3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）
A.-2 B. C.-3 D.
【解答】 a2+2b2=6=1. 设(θ∈［0，2π］)，则
a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ=，sinφ=，∴a+b≥-3，选 C .
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .
【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见；
由条件y2=3x-x2.
∴x2+y2=x2+x2+3x= (x-3)2+.
∴当且仅当x=3时，（x2+y2）max =. 你能发现这种解法有什么毛病吗？
先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:
∵y2=3x-x2≥0，∴x2-2x≤0. 得x∈［0,2］，而x2+y2= (x-3)2+.
令z= (x-3)2+，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈［0,2］，故当x=2时，
zmax = (2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.
【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：
(x-1)2+y2=1.
设， 则
x2+y2=(1+cosθ)2+sin2θ=cos2θ+2cosθ+ (cosθ-2)2+.
由于cosθ∈［-1,1］,故当cosθ=1时，(x2+y2)max =+=4.
此时，x=2，y=0.
【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A
、B两点，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为： (t为参数)代入y2=4px：
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是：
1,
设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=
设AB之中点为Q(x,y)， ∵t=.
∴， 消去θ得：y2=2p(x+p),
∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：
其中P(x0，y0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x 0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.
【例4】 两圆O1与O2外离，其半径分别为r1，r2，直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB，过A，B
的切线交于E，求证： .
【思考】 本例是平面几何题吗?
不是，谁要试图仅用平几知识证明，
肯定难以成功，但若引入三角，则不然.
【解答】 作两圆直径AF，BG，连
CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα，BD=2r2sinβ,
已知AC=BD，∴2r1sinα=2r2sinβ， 例4题图
,
△EAB中，由正弦定理：∴.
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（v>u）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？
【分析】 求的是C、D建的地方，
为了将问题简化，暂不考虑车站D，
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】 ∵AC=A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于，，为常数，问题转化为求y= 的最小值.
∵y′=，令y′=0,得时， sinA<1.
sinA<时，y′<0, sinA>时，y′>0.
故函数y，从而函数t当sinA=时，取得极小值：
∵ sinA=，∴A′C=mtanA=，即车站C距A′为千米，它与l的长短无关.
同理，站D距B′为千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1 已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ<π)之二根为α,β，求使等比数列1,，…前100项之和为零的θ值.
2 设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.
3 已知圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.
4 △ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.
(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变；
（Ⅱ）求y的最大值.
5.一条河宽1km，相距4km (直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参
1 由条件：,
∴，即等比数列的公比q=2sinθ，∴S100= .
已知S100=0，∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1, sinθ=,
∵θ∈(π，π), ∴θ=π.
2 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.
如图，表示圆上的点(x,y)与
定点P(-1,0)连线的斜率, PA，PB为
圆C的切线，则，连PC,
设∠BPC=∠APC=θ，则tanθ=, 第2题解图
tan∠BPA=tan2θ=, 即，从而.
3 如图所示，有A(1,0),B(-1,0),
⊙方程为x2+y2=1，∴设P(cosθ，sinθ)为
圆上一点，不妨设P在第一象限，
则有Q(-cosθ, sinθ).
∴|PQ|=2cosθ, Rt△PAB中∠PBA=,
∴|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，
l=2+2cosθ+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2, 第3题解图
当且仅当sin=，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，lmax=5，此时
点P的坐标为.
4 (Ⅰ)y=2+cos C［cos (A-B) - cosC］
=2+cos C［cos (A-B)+cos (A+B)］=2+2cos Acos Bcos C
此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.
(Ⅱ)y=2-［cos Ccos (A-B)］2 +cos2(A-B),为求y的最大值必须［cosCcos (A-B)］2取得最小而cos2(A-B)取得最大.
∵［cosCcos (A-B) 2≥0，且cos+(A-B)≤当且仅当时以上两条同时成立.
∴ymax =，此时故△ABC为正三角形.
5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM=-x，BM=. 总修建费
S=2（-x）+4
=2++x+3(-x)
=2+（+x）+≥2+2
由+x=,得当x=时，
S取最小值 2+2， 此时，
AM≈3.3，BM≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，
再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时， 第5题解图
总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.
解法二：如图所示，设∠OBM=α(0<α 设t=，则sinα+tcosα=2 ∴ sin(α+φ)= 由及t>0，得t≥， ∴ S≥2+2 将t=代入sinα+tcosα=2，解得α= ∵ 0< 数学破题36计 第29计 向量开门 数形与共 ●计名释义 非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表. 向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人. ●典例示范 【例1】 α,β为锐角，且sinα-sinβ=, cosα-cosβ=，求tan(α-β)之值. 【解答】 如图，设A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ)为单位圆上两点， 由条件知：0<α<β<. 那么： =（cosα- cosβ, sinα- sinβ） =. ∴||=，||=||=1. 例1题解图 △OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =. ∴ sin(α-β)=, tan(α-β)=. 【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量 模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例. 【例2】 设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤ 【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|·|n|= ∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|. ∴ac+bd≤. 【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几 何中又能起作用吗? 【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC1 之长为 . 【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事? 向量的数量积公式可以保驾护航. 对！走向量法解题的道路. 【解答】 如图所示， ∴ = =1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6 ∴||=. 例2题解图 【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是||2=的运用奇妙. 注意：与所成角等于与所成角，是60°而不是120°. ●对应训练 1 如图,在棱长为a的正方体 ABCD—A′B′C′D′中，E、F 分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF. (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时， 求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图 2 已知a,b∈R+，且a≠b，求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4). 3 在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上. ●参 1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)， =(-a,a-x,-a). ∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0， ∴ ⊥. (2)VB′—BEF =S△EEF·||=·(a-x)·x·a =a(a-x)·x≤a·， 当且仅当a-x=a，即x=时, (VB′—BEF)max =， 此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD. 设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图 由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角, 设为θ,∵||= ∴ tanθ=. 即θ=arctan2，则二面角B′—EF—B的大小为arctan2. 2 设m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m·n≤|m|·|n|. ∴a3+b3≤，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4). 3 如图,设A(x1,)，B(x2,), C(x3，)，△ABC的垂心为H(x0，y0), 则, , 第3题解图 ∵, ∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·. ∵x1≠x2，∴x0-x3. ∴x0+ (1) 同理：x0+. ∴x2-x1=y0. ∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0, ∴x0y0=1，即H(x0，y0)在双曲线xy=1上. 数学破题36计 第30计 统计开门 存异求同 ●计名释义 甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统. 甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”. 甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中. 甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？ 乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系! ●典例示范 【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料： （1）线性回归方程； （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题. 注：设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数． 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析. 解：（1）列表如下： a=0.08. ∴线性回归方程为： =bx+a=1.23x+0.08. （2）当x=10时， =1.23×10+0.08=12.38（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元. 【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的. 【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求： （1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率； （2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率. 【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用重复试验的方法求解. 【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次重复试验. (1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次重复试验中事件A恰好发生2次. ∴P3(2) =C (0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441. (2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784. 【点评】 用重复试验的概率公式Pn(k)=C·Pk·(1-p)n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是重复试验；②求一次试验中事件A发生的概率P；③利用公式计算在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率. 【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. (1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率. 【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： Eξ=0×+1×+2×+3×= (2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则 P(A)= P(B)= 因为事件A、B相互, 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（）=1- 方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=P(A·)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×= 【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等. ●对应训练 1.在袋里装30个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率. 2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值) 3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？ 4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据： 1.取3个小球的方法数为C=4060. 设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事件C，则P(B)=，P(C)=. ∵A、B、C为互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). 即=P(A)+ + P(A)=0. ∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n=2. 记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则 为“3个小球没有一个红球”. P(D)=1-P()=1. 2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元); ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）. ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元） ④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元) 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少. 3.设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P（ξ≥x）＜1%. ∵ξ～N（173，7 2），∴P（ξ≤x）=Φ（）＞0.99. 查表得＞2.33，∴x＞1.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞. 点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握. 4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程=bx+a，令=6，得x=1.5万元. 答案：1.5万元 点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果. 数学破题36计 第31计 解几开门 轨迹遥控 ●计名释义 求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基. ●典例示范 【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值. 【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为 P（1-2a,2）. 椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴. ∴-a=0， 而e=. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2)；如M（1，2）为左顶点，有 P2（1，2）， ∴P1P2中点为（，2）. 由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2)的椭圆. 【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)， ∵e=，且左准线为y轴, ∴=0, 得a=x，c==，有：F，由椭圆第二定义： = e=. ∴ ，化简得： ① (2)椭圆①的长半轴a′=，∴-≤x-≤，得x∈. 原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈. 故原椭圆长轴最大值为2，最小值为. 【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由. 【思考】 F1（1，0）为定点，∴|AF1|=2=|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2=±(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆. 【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略). （2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由 ∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0. 此方程应有相等二实根， ∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0. 化简得：m2-2m-11=0,∴m=1±2. 【小结】 探求轨迹，一要注意 其完备性也就是充分性：只要符合 条件的点都适合轨迹方程；二要 注意其纯粹性也就是必要性：只要 适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图 以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹. ●对应训练 1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点. (1)求双曲线中心的轨迹方程; (2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程. 2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程. 3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程. 4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值. ●参 1.设F2(x0，y0), ∵O(0,0)在双曲线上, ∴|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6, ∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20= ① 如|OF2|=4，则x20+y20=16 ② 当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0） 设双曲线中心为M（x，y）,则 ③ ③代入①：(2x-6)2+(2y)2=， 即(x-3)2+y2=16(x≠7) ③代入②：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x≠5) (2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=, 如M的轨迹为(x-3)2+y2=16， 则c= ∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7 当x=-1时，cmax=7. 如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则 ∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，当x=1时，cmax=5, 于是取c=7，a=1，∴b2=48，又当x=-1时，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2-=1. 2.如图作OA⊥l于A，以直线OA为x轴， 过O且垂直于OA的直线为y轴建立 如图的直角坐标系，设A（a,0），则有 直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=d ∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+ 设P(x,y)，∵d=， ∴x= d cos (θ+)= (cosθ-sinθ) 第2题解图 = (1-tanθ), y=dsin(θ+)= (sinθ+cosθ)= (tanθ+). 于是得点P的参数方程：（θ为参数） 消去参数得：x+y=2a. 3.(1)设F2(x0，y0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF2| - |OF1|=±2，|OF1|=6，∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20= ①；如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②，当O，F1，F2共线时，F1，F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）. 设双曲线中心为O′(x，y)，则 ③ ③代入①：(2x-6)2+(2y)2=, 即 (x-3)2+y2=16 (x≠7). ③代入②：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x≠5). (2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=, 如M的轨迹为（x-3）2+y2=16, 则c=. ∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7, 当x= -1时，cmax =7. 如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则c=. ∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5当x=1时，cmax =5. 于是取c=7，a=1. ∴b2=48，又当x= -1时，由(x-3)2+y2=16，得y=0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F1（6，0），故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2=1. 4.（1）如图设椭圆中心为O′(x 0,0)， 由于左焦点F（1，0），左准线x= -1， ∴x0=c+1，且x0+1=. ∴a2=c(x0-1)=x20-1， b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2， 得椭圆短轴端点B（x0，）. 第4（1）题解图 设FB的中点为P(x，y)，则： 消去x0：y2=x-1(x≥1). (2)曲线y2=x-1(x≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F（1，0）. 显然当m≤1时，|MQ| min=1-m，即点M（m,0）到抛物线顶点F最近，当m>1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为： (x-m)2+y2=R2.(*) 由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0. 命Δ≥0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, ∴R2≤. (1) 当m≥时，R min=， 即|MQ|的最小值为. 当1 当≤1，即m≤时，|MQ|无最小值；当>1，即m>时， |MQ| min=.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正. 数学破题36计 第32计 立几开门 平面来风 ●计名释义 空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”. ●典例示范 【例1】 “神舟六号”飞船上 使用一种非常精密的滚球轴承， 如图所示，该滚球轴承的内 外圆的半径分别为1mm、3mm ， 则这个轴承里最多可放 滚珠 个. 例1题图 【解答】 6如图，设两滚球P，Q相切 于点T，轴承中心为O，连接OT， 设滚球半径为d，内、外圆半径 分别为r、R，则R=3，d=r=1. 在Rt△OTP中，∠POT=，OP=2，PT=1, 则有sin=， 得α=2×=，即在圆心角为的轨道内， 例1题解图 可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度） 时可放的滚珠为=6个. 【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决. 【例2】 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱C1B1，C1D，CC 上分别取一点M、N、L使C1M＝C1N＝1，C1L＝. (1)求证：对角线AC1⊥面MNL； （2）求四面体D—MNL的体积； （3）求AM和平面MNL所成夹角的正弦值. 【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC1与LM、LN之一垂直即可; (2)四面体D—MNL的体积不好求，可退而求四面体C1—MNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C1—MNL的体积适当扩大即可； （3）AM与面MAC1夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夹角的余弦. 【解答】 （1）如图所示，以D1为原点，直线D1A1，D1C1，D1D分别为x,y，z轴建立空间坐标系， 则有：A（3，0，4），C 1（0，3，0） ∴=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0), ∴=∵·=0+3-3=0, ∴⊥,根据图形对称性， 同理有⊥，故AC1⊥平面MNL. 例2题解图 (2)四面体D—MNL与C1—MNL同底不等高，设其高分别为h1，h2，连C1D交NL于E. ∵D(0,0,4), ∴=(0,-3,4),且·=(0,-3,4)·=0. ∴⊥，知L、E、D、C在同一个圆上，||· || =||·||, 即·4=||·5. ∴||=，从而||=5-=. h1∶h2=. 易求VC 1－MNL＝·C1M·C1N·C1L=×1×1×，∴VD-MNL == (立方单位). (3)设AM与平面AC1成θ角，已证AC1⊥平面MNL，∴∠MAC1=90°-θ. ∵M(1,3,0),∴=(-2,3,-4),·=(-2,3,-4)·(-3,3,-4)=6+9+16=31. 又｜｜=, ｜｜=. ∴cos (90°-θ)=. 从而 sin θ=，即AM与平面MNL所成角的正弦值为. 【评注】 本题第（2)问另一解法：∵VD-MNL =VM-DNL，而S△DNL 易求，且MC1⊥面DNL，从而VD-MNL =·S△DNL ·MC1也不失为另一有效解法. 【例3】 （04·全国卷Ⅲ）如图， 四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形， AB=8，AD=4，侧面PAD为等边 三角形，并且与底面所成二面角为60°. (Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积； （Ⅱ）求证：PA⊥BD. 【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥， 不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题， 否则是“瞎子点灯”——白费蜡， 因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图 2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略. 【解答】 （Ⅰ）设O为P在底面的射影，作OE⊥AD于E，连PE，则∠PEO是二面角P—AD—O的平面角，有∠PEO=60°.已知△PAD为正三角形，且边长为4. ∴|PE|=4sin60°=6，PO=6sin60°=3. ∴VP—ABCD=·S□ABCD ·PO=·8·4·3]=96(立方单位). (Ⅱ)以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系. 则有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0), ∴=(2,-3,-3), =(-4,-8,0), ∵·=-24+24+0=0. ∴⊥. ●对应训练 1.如图所示，ABCD是边长 为2a的正方形， PB⊥平面ABCD， MA∥PB，且PB=2MA=2a， E是PD的中点 (1)求证：ME∥平面ABCD; (2)求点B到平面PMD的距离; (3)求平面PMD与平面 ABCD所成二面角的余弦值 第1题图 2.在正三棱锥S—ABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为△ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN. (Ⅰ)求面SBC与底面ABC所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：SA⊥平面NBC. 3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的 平面垂直于平面ABCD，AB=AD， AB⊥AD，AC=3，AC⊥BD， 垂足为M，N为BF的中点. (1)求证：MN∥平面ADEF； （2）求异面直线BD与CF所成角的大小； （3）求二面角A-CF-D的大小. 第3题图 ●参 1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG， ∵MAPB=a， ∴M为PF中点，又E为PD中点， ∴ME为△PFD中位线，ME∥FD， 而FD平面ABCD, ∴ME∥平面ABCD. (2)MAPB时，A为FB的中点. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DC∥AB， ∴D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图 ∵AB=BC=2a. ∴BF=BG=4a. ∴BD⊥FG，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥FG，故FG⊥平面PBD. 作BH⊥PD于H，必FG⊥BH， 故BH⊥平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离. Rt△PBD中，PB=2a，BD=2a. ∴PD==2a，BH=a，即所求距离为a. (3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且 cos∠PDB=，即所求二面角的余弦值为. 点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了. (2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条： ①若用S，S1，S2，S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S2=S 21+S 22+S 23 ②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S= ③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么 h=. 根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B—PFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a ∴BH= 2.(1)如图，正△ABC边长为a时， AM=a，OM=AM=a. SO=AM=a. ∠SMA是二面角S—BC—A的平面角， 设为α，则tanα=. ∴面SBC与面ABC成arctan的角. 第2题解图 (2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系，则有B(a, ,0)，M(a，0,0)，C (a, ,0)，S (0,0, a). ∵a，有A(-a，0，0). ∵=(-a，0，-a)， =（0，a，0）， ∴ ·=0, ⊥. 又=，故有N(a，0， a). =a，0，-a). 故·=（- a,0,- a）·（a,0,- a）= -a2 +0+a2 =0. ∴ ⊥，从而SA⊥平面NBC. 3.方法一：（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足为M，∴M为BD的中点，∵N为BF中点，∴MN∥DF ∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF. (2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD， ∵AC是FC在平面ABCD内的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF， ∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°. （3）在平面ACF内过M作MH⊥CF于H，连DH， ∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C， ∴BD⊥面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH， 又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角. 在等腰Rt△ABD中，DM=，AM=，∵AC=3，∴CM=2，CF=, ∵△CMH∽△CFA,∴，∴MH=, tanMHD =, ∴二面角A-CF-D的大小为 arctan. 方法二：（1）同法一； （2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD， ∴平面FAC⊥平面ABCD，在平面FAC内作MG⊥AC交FC于点G， ∴MG⊥平面ABCD. 如图，建立空间直角坐标系M-xyz, 则C（2，0，0），B（0，-，0），D（0，，0），F（-，0，2）， ∴=（0,2,0），=（3,0,-2），∴·=0，∴ ⊥. ∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°. 第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3） (3)设n=（x,y,z）是平面CFD的法向量， ∵=（3，0，-2）, =（，，-2）, 由，∴，令z=3，则x=，y=2， ∴n=（，2，3），∵MD⊥AC，∴MD⊥平面ACF ∴平面ACF的法向量=（0，，0），则cos ∴二面角A-CF-D的大小为arccos. 数学破题36计 第34计 参数开门 宾主谦恭 ●计名释义 参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用. 在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩. 有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”. ●典例示范 【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式. 幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了. 【解答】 如图，由条件知MN和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1）， 且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条 存在斜率，不妨设PQ的斜率为k. 【插语】 题设中没有这个k， 因此是“无中生有”式的参数. 我们其所以看中它，是认定它 不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图 【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则 x1=， 从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=. 【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程. 【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得， ｜MN｜=, 故四边形S＝|PQ|·|MN|=. 令u=k2+，得S=. 因为u=k2+≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以 ≤S<2. 【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话. 【续解】 (ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2. 综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为. 【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角. 【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围. 【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的. 【解答】 y=为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1. 即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成立. 令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1). 只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值. 【解答一】 设tan=t，则y= 即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ① ∵t=tan∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0. 即3y2-12y+8≤0，解得：2-≤y≤2+. 即ymax =2+，ymin =2-. 【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3， sin (x+φ)=2y-3. ∵ |sin (x+φ)|≤1，∴≤|2y-3|. 平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略) 【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数, 按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或 通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理 由是:这样解法简单，而且同样能达到目的. 【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立，试求实数m的取值范围. 【解答】 反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式. 原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ, 如sinθ=1，则0<1恒成立，此时m∈R. 如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0. ∴2m>2- ∵ (1-sinθ)+≥2. 当且仅当1- sinθ=，即sinθ=1-时， =2, ∴ =2-2. 为使2m>恒成立,只需2m>2-2，∴m>1-. 综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-，+∞). 【例5】已知动点P为双曲线=1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围. 【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆， 当P在椭圆上时，由cos∠F1PF2=<0， 知∠F1PF2必为钝角且为最大角， 则P应为短轴端点(须证明),据此可 求出椭圆方程. (2)M、N在椭⊙上, =λ时, 与必共线,可用设参、消参 例5题图 的方式确定λ的范围. 【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点，命|PF1|= r1，|PF2|= r2，∵r1+r2=2a为定值，且 F1(,0)，F2(，0)为定点. ∴点P的轨迹为椭圆，已知(cos∠F1PF2)min=. 而cos∠F1PF2=，这里>0，且r1r2≤=a2，∴≥，从而 cos∠F1PF2≥-1=1-, 当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1-=，∴a2=9，∵c2=5，∴b2=4. ∴所求动点P的轨迹方程为： =1. (2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上. ∵=λ，即(m，s-3)=λ(n，t-3), ∴ ∴ 消去n2得： 化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1) 如λ=1，则=，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点. 如λ≠1，有：t=，∵|t|≤2，-2≤≤2，解得λ∈［，5］. 【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围. 【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主. 所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题. ●对应训练 1.求使A=为整数的一切实数x. 2.已知方程组同解，求m、n的值. 3.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0. 4.已知正项数列{an}中，a1=1，且Sn=，求该数列的通项. 5.解方程x3+(1+)x2-2=0. ●参 1.反客为主，让x为A服务. ∵A-1= 当A∈Z时，亦有A-1∈Z. 若x+1=0，则A=1∈Z(x= -1). 若x+1≠0，有：A-1=∈Z.这有两种可能. (1) =±1. x2-4x+2=0，x=2±；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去. (2)是分子1的真分数. 令x2-3x+3=1，得x=1或2. 故所求实数为x=-1，1，2，2±.相应的整数为A=1，3，4，2. 2.设两方程组的相同解为(x0，y0). 由 代入. 3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程： a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0. ［a-(x2-3x-1)］2 =(x-1)2 a=(x2-3x-1)±(x-1) 有x2-2x-2-a=0 ① 或x2-4x-a=0 ② 由①：（x-1）2 = a+3. 当a≥-3时，x=1±. 由②：(x-2)2=a+4. 当a≥-4时，x=2±. 故a<-4时，原方程无实根； a∈［-4,-3)时原方程有两解：x=2±； a∈［-3，+∞)时，原方程有四解： x=1±，x=2±. 4.反客为主，先求Sn再求an，∵2Sn=(S n - Sn-1)+，得： 2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1. ∴S2n - S2n-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，…，n，用叠加法可得S2n - S21=n-1. ∴Sn=,得an=Sn - Sn-1=，于是 an=. 5.设a=，原方程转化为：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0, ∴x2+x=a或x= -a, ∵a=. ∴x2+x-=0x=± 或x=-. 数学破题36计 第35计 符号开门 来意弄懂 ●计名释义 数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字： 3x+2y+z=100 问学生：“这句话的意思是什么？” 学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食. 学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程. 学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？ 老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句. ●典例示范 【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F 共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: A.6E B.72 C.5F D.B0 【分析】 本题破门首先是弄懂数学符号 A，B,C，D，E，F 的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，…，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数. 对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B. 这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B中的1的意思相同吗？ 【解答】 我们用符号［x］(10) ,［y］(16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是［16］(10)=［10］(16) . 则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10) =［6×16+14］(10) = ［610+E］(16)=6E. 答案为 A . 【插语】 这里，解题人的特殊数学语言（10进制数和16进制数）用特别符号（［x］(10) 和［y］(16) )来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明. 【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话”；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”. 【例2】 对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：（a1，b1)=（a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“”为：（a1，b1) (a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；运算“”为：（a1，b1) (a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,q∈R，若（1，2）（p,q)=(5,0)，则 (1,2) (p,q)= ( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D .(0,-4) 【分析】 本题破门首先是弄清符号 所表示的运算意义：（1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也是有序数对（a,b)；（2）运算法则则是(翻译）化为普通运算法则进行： a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同样对符号进行类似的分析. 于是我们得到如下的解法. 【解答】 B 由（1，2） (p,q)=(5，0)得，所以（1，2）(p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0)，故选 B . 【插语】 这里的运算、的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i . 由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则、 设计实际上是把一种具体的（复数）运算法推广到了（有序数对）“一般化”运算. ●对应训练 1.设 是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有ab∈A，则称A对运算 封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭 的是 （ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 2.定义集合运算：A⊙B =｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ( ) A.0 B .6 C .12 D .18 3.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( ) A .4,6,1,7 B .7,6,1,4 C.6,4,1,7 D. 1,6,4,7 ●参 1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合A中的任意两个数经过运算的结果，仍然是集合A中的元素，则称A对运算是封闭的. 【解答】 A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件； B 中1÷ 2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件； C 中有理数集满足条件； D 中×=2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案 C . 【点评】 本题中的运算 有四个，即加法、减法、乘法和除法（除数不为0），要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性. 2.【分析】 集合运算A⊙B实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0，这使问题简化了，因为0乘以任何数其结果为0. 【解答】 D 当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选 D . 【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有0的存在，使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧！ 3.【解答】 C 依题意，建立方程组 解得d=7，c=1，b=4，a=6，选 C . 【评说】 由信息的传递迁移到数学中的方程组，这是通过一些数字迁移到另外一些数字上去，可见数学的神密所在. 数学破题36计 第36计 思想开门 人数灵通 ●计名释义 为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？ 所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界. ●典例示范 【例1】 有一个任意的三角形 ABC（材料），计划拿它制造一个 直三棱柱形的盒子（有盒盖） ，怎样设计尺寸（用虚线表示）， 才能不浪费材料（图右上）？ 例1图 【思考】 “任意”三角形属一般情况， 它的对立面是“特殊”的三角形. 我们先从正三角形考虑起. 假设这个尺寸如图（1）所示. （1）三棱柱的底面A1B1C1的 中心G为原三角形的中心. （2）柱体的三侧面是三个矩形， 矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等. （3）柱体的上底面（盒盖）由 三个四边形拼合，拼成后的三角形与A1B1C1全等. 例1题解图（1） 经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C1，它应满足两个条件：其一，C1是GC的中点；其二，C1到∠C两边的距离相等， 因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心. 【解答】 作△ABC的∠A和∠B的 平分线相交于内心G，如图（2）所示. 分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1. △A1B1C1为直三棱柱的一个底面. 过A1，B1，C1三点分别作对应边 的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面. 经过以上截取后，原△ABC三个顶点 处所余下的三个四边形拼在一起， 作为柱体的另一个底面（盒盖）. 例1题解图（2） 【点评】 本题的设问，只要求讲出“设计操作”，形式上“不讲道理”.实质上，人的操作是受思想支配的，因此，本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心，运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想. 【例2】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是. (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率； （2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率. 【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P=C23·（）2··=. (2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类： ①5次投中3次，有C24种可能投球方式，其概率为：P（3）=C24·（）5=； ②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P（2）=（）4+3·（）5=； ③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式， 其概率为：P（1）=（）3+（）4=； ④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（）2=， ∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)= + + + =. 【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想. ●对应训练 1.函数y=lg的定义域是： ( ) A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|0 2.下面的数表 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19= 21+23+25+27+29=125 所暗示的一般规律是 . ●参 1. D 利用特殊值.x= -1，2时，函数有意义，排除 A、B ，x=时，函数无意义，排除 C . 2.（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3 设第n行左边第一个数为an，则a1=1，a2=3，an+1=an+2n. 叠加得an=n2-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是 （n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3. 【点评】 数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去. 数学破题36计 第33计 导数开门 腾龙起凤 ●计名释义 导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向. 近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向. ●典例示范 【例1】 （2005年北京卷）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了. 但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试. 【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=（ex）′. 设切点为(x0，e )，y′=ex，yx= x=e. 则切线方程为y-e=e (x-x0), ∵切线过（0，0）点，0－e=e (0-x0)，∴x0=1，∴e=e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e. 【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配. 【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a≠1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解答】 B 设u=x3-ax，则u′=3x2-a. 当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x2-a>0，即a<3x2在上恒成立.又0<3x2<，∴a≤0，这与a>1矛盾. 当0 ∴a≥且（-）3 -a (-)>0，即a>,故有≤a<1,故正确答案为 B . 【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决. 【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数. 【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］. 令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0. (1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0. 即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1 从而有下表： (2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是 f′(x)=ex(x-x1)2. 故当x (3)当Δ<0，即0 【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数. ●对应训练 1.已知函数f (x)=的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0. (1)求函数y=f (x)的解析式； （2）求函数y=f (x)的单调区间. 2.已知函数f (x)=，x∈［0，1］. (Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域； （Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x1∈［0,1］，总存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围. 3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex. (Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围. ●参 1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= -，易求出a、b的值. 解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′(-1)= -. ∵f′(x)=，∴ 即 解得a=2，b=3(∵b+1≠0，b= -1舍去）. 所以所求的函数解析式是f (x)=. (2)f′(x)=.令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2，x2=3+2，当x<3-2，或x>3+2时，f′(x)<0; 当3-2 在（3-2，3+2)内是增函数； 在（3＋2，+∞)内是减函数. 点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力. 2.解析：(Ⅰ)对函数f (x)求导,得f′(x)=， 令f′(x)=0解得x=或x=. 当x变化时，f′(x)、f (x)的变化情况如下表： 当x∈(，1)时，f (x)是增函数； 当x∈［0,1］时，f (x)的值域为［－4，－3］. (Ⅱ)对函数g (x)求导，得g′(x)=3(x2-a2). 因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1-a2)≤0. 因此当x∈(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x∈［0,1］时有g(x)∈［g(1)，g(0)］. 又g (1)=1-2a-3a2，g(0)= -2a，即当x∈［0,1］时有g (x)∈［1-2a-3a2，-2a］. 任给x1∈［0，1］，f (x1)∈［-4,-3］,存在x0∈［0，1］使得g(x0)= f (x1)，则 ［1-2a-3a2，-2a］［-4,-3］. 即 解①式得a≥1或a≤-； 解②式得a≤. 又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤. 点评：本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力. 3.分析：（Ⅰ)利用导数的性质解决问题. (Ⅱ)利用函数f (x)在［－1，1］上是单调函数的充要条件是x2≥1.(x=x2时f (x)取到极小值） 解：(Ⅰ)对函数f (x)，求导数，得：f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=［x2+2x(1-a)x-2a］ex，令 f′(x)=0，得［x2+2(1-a)x-2a］ex=0，从而x2+2(1-a)x-2a=0. 解得x1=a-1-，x2=a-1+，其中x1 所以当x=a-1+时，f (x)取得最小值. (Ⅱ)当a≥0时，f (x)在［－1，1］上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a-1+≥1,解得：a≥，综上，f(x)在［－1，1］上为单调函数的充分必要条件为a≥，即a的取值范围是［，+∞). 点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.
若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求： x 2 3 4 5 6 y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0
于是b=， i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3．8 5．5 6．5 7．0 xiyi 4．4 11．4 22．0 32．5 42．0 x 4 9 16 25 36
甲答对试题数ξ的数学期望. ξ 0 1 2 3 P
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）. ●参 广告费用（千元） 1．0 4．0 6．0 10．0 14．0 销售额 （千元） 19．0 44．0 40．0 52．0 53．0
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ( ) 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
即此时f (x)有两个极值点. x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） fˊ(x) + 0 - 0 + f (x) ↗ f (x1)为极大值 ↘ f (x2)为极小值 ↗
所以，当x∈(0，)时，f (x)是减函数； x 0 （0，） （，1） 1 fˊ(x) + - 0 + - f(x) ↘ -4 ↗ -3
即f (x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值. 当a≥0时，x1<-1，x2≥0，f (x)在（x1，x2)为减函数，在(x2,+∞)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)ex>0，当x=0时，f (x)=0. x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） fˊ(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
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