●计名释义
数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.
如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.
数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.
第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.
●典例示范
【例1】 实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则使不等式x+y+c≥0恒成立的实数c的取值范围是 （ ）
A .［-1， -1］ B .［-1，+∞)
C .( +1， -1) D .(-∞，-1)
【分析】 容易看出：x2+(y-1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c≥0表示直线y=-x-c即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x，y）既在直线y=-x-c上方，又在圆x2+(y-1)2=1上运动时，实数c应满足什么条件？
【解答】 如图，斜率为-1的直线
y=-x-c切圆x2+(y-1)2=1于A，B，
交y轴于M，N.连AB，
则AB过圆心C（1，0）.
等腰直角三角形MCB中，∣CB∣=1，
∴∣CM∣=，设M（0，-c），
必-c=1-，得M（0，1-）.
当且仅当-c≤1-时，圆x2+(y-1)2=1 例1题解图
上的点在直线y=-x-c上或其上方.于是c≥-1，选 B .
【例2】 正数x，y，z满足方程组，则xy+2yz+3xz的值是 .
【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.
【解答】 将原方程组改写如下： ，
构造如图的直角三角形ABC，使AB=5，
AC=4，BC=3.又在△ABC内取一点P，
使∠APB=150°，∠APC=120°，
∠BPC=90°.显然符合题设条件.
∵S△APB+S△BPC+S△CPA=S△ABC，
而S△APB=x·y·sin150=xy，
S△APC=xz·sin120°=xz， 例2题解图
S△BPC =z·y=yz，S△ABC=6. ∴xy+xz+yz=6，
∴xy+2yz+3xz=24.
【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=.
(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的
25％，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p的取值范围.
(Ⅲ)当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p最高时，问原有道路标段为多少个？
【解答】 （Ⅰ）新建x个标段，则应建n=ax+b个道口，建x个标段需kx万元，建（ax+b）个道口需
y=kβ(ax+b)(万元).
(Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］,
∴0.05≤≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,
又p==.
∵p>0,β>0，∴ >0，当β∈［4,9］时，∈［，］，所求p的范围是：
.
(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大，
故β=9，又b=4.
∴p=，当且仅当a=. a>0，即a=4时，造价比p=为最高.∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.
【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.
【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小?
【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来.
【解答】 设扇形OAB的半径为R，中心角为2α.
(1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，
则S□CDEF ＝DE·EF=Rsinθ··［cos2(α-θ)-cos2α］
当2(α-θ)=0，即θ=α时，S□CDEF有最大值tanα.
（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF＝OE＝Rcosθ，
则S□CDEO=DE· EF=Rsinθ·Rcosθ=sin2θ，当2θ=即θ==α，S□CDEO有最大值.
(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF为扇形的内接矩形，取的中点M，连结OM，则∠BOM=α,∠DEO=π-α，令∠DOM=θ，则矩形面积S=CD·DE=2R·sinθ［cos (2θ-α)-cosα］，当cos(2θ-α)=1.
即θ=时，Smax= .
此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF，再沿其周界切开即可.
例4题解图
●对应训练
1.已知a 3.设n是大于1的自然数，求证： 4.若a，b≠0，且a2+b2=1，求证： 5.α,β,γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求证：tanαtanβtanγ≤ 6.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x- (万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（百台）. (1)把利润l表示为产量x的函数L (x); (2)年产量为多少时，企业所得利润得大？ （3）年产量为多少时，企业才不会亏本？ 7.在边长为5cm，6cm，7cm的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论 ●参 1．原题即证：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0或a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0. 设f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a ∴f (a)的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x=，而>b>a，函数在上递增， ∴f (a) 设有A(a,b)，B(c,d)两点， 连接AO，OB，显然 |OA|+|OB|≥|AB|(当A、O、B 共线时等式成立). ∴ 第2题解图 若将点B的坐标改为 (-c,-d)，则有： . 3 设, 即, 则. 两式相乘：A2>2n+1，∴A=2. 即. 4.在坐标平面内设有两点A(a，b), B， 则|AB|= 设过A的直线l：ax+by-1=0. ∵a·a+b·b-1=a2+b2-1=0, ∴点A(a，b)符合条件a2+b2=1. 作BC⊥l于C，则|AB|≥|BC| （当直线l⊥AB时等式成立）. ∵|BC|= 第4题解图 ∴≥3. 即≥9. 5 如图所示，设长方体的长、宽、高 分别为a，b，c，连接BD1，设∠BD1B1=α, ∠BD1A=β，∠BD1C=γ. ∵BD1=，B1D1=, AD1=, CD1=，∴满足 cos2α+cos2β+cos2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图 于是 tanα·tanβ·tanγ= ≤ 故 tanα·tanβ·tanγ≤ 6.（1）年产量在500台以内（即0≤x≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x>5）.只能售出500台，x(百台)的生产成本为C(x)=0.25x+0.5(万元). 故利润函数L(x)=R(x)-C(x). 当0≤x≤5时，L(x)=(5x-x2)-(0.25x+0.5)= -x2+4.75x-0.5. 当x>5时，由于只能售出500台，∴L(x)=(5×5-×52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x. 于是. (2)为使利润最大，须求L(x)的最大值，显然x>5时不可取（会造成积压）. 当0≤x≤5时，∵L′(x)=-x+4.75，命L′(x)=0，得x=4.75，L(x)的图像为开口向下的抛物线，∴当x=4.75时，［L(x)］max= =10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大. (3)为使企业不亏本，必须L(x)≥0.显然，0≤x≤5时，应使-x2+4.75x-0.5≥0. 即2x2-19x+2≤0，解得0.11≤x≤14，综合得：0.11≤x≤5. x>5时，应使12-0.25x≥0，得5 7.可以办到.如图所示，证明如下： 设△ABC内切圆半径为r，则 S△ABC= (5+6+7)r=9r ① ∵cosB= 第7题解图 ∴sinB= ∴S△ABC=·5·6·=6（cm2） ② 比较①，②：9r=6得r=（cm），于是 S⊙O==8（cm）2. 第20计 讨论开门 防漏防重 ●计名释义 为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”. 分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件. 分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使: ①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”. 分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案. ●典例示范 【例1】 已知a∈R，函数f (x)=x2|x-a|. (1)当a=2时，求使f (x)=x成立的x的集合； （2）求函数y=f (x)在区间［1，2］上的最小值. 【分析】 (1)只需分两种情况讨论； （2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解. 【解答】 (1)当a=2时，f (x)=x2|x-2|= 当f (x)=x时，即x2(x-2)=x (x≥2)或x2(2-x)=x (x<2) x3-2x2-x=0，x(x2-2x-1)=0, x1=0(舍去），x2=1- (舍去），x3=1+. 当x2(2-x)=x时，∴x3-2x2+x=0，x(x2-2x+1)=0，x=0或x=1. 综上所述：a=2时，f (x)=x成立的x的集合为{0，1，1+}. (2)f (x)= 若a≤1时，即a<1≤x≤2，f (x)=x3-ax2. ∴f ′(x)=3x2-2ax=0，∴x1=0，x2=a ∵1≤x≤2，∴ a f ′(x)>0，即f (x)在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a，f (2)=8-4a. ∴f (x)min=1-a. 若a∈(1，2)，即f (x)= 当1≤x≤a时，f (x)=-3x2+2ax=0，x1=0，x2=a. 若a<时，1≤x 当a≤x≤2时，f ′(x)=3x2-2ax=0，x1=0，x2=a. 当x∈［a，2］，f ′(x)>0. ∴f (x)在［a，2］上为增函数. ∴f (x)min=0. 当a>2时，x∈［1，2］. f (x)=x2(a-x)= ax2-x3. ∴f ′(x)=2ax-3x2=0. ∴x1=0，x2=a 若 ∴f (x)min为a-1，4a-8中的较小数. 即2 综上所述，a≤1时，f (x)min=1-a, a∈(1，2)时，f(x)min=0, a∈(2，)时，f (x)min= 4a-8; a∈［，3］时，f (x)min =a-1; a∈(3，+∞)时，f （x）min=a-1. 【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x的取值进行讨论，第（2）问中对a的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在. 【例2】 设f (x)=g(x)-h(x)，其中g(x)=2x3++5，h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+. (1)若x>0，试运用导数的定义求g′(x); (2)若a>0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间. 【解答】 （1）g′(x)= = =. (2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a. ①当0 ③当1≤a<3时，1-a≤0<2a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增； ④当a≥3时，1-a<0<6≤2a，于是函数f (x)在［0，6］上单调递减. 【点评】 本题中对a的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了. ●对应训练 1.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是 A 27 B 26 C 9 D 8 2.若数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则等于 （ ） A B C D 3. 如图，已知一条线段AB， 它的两个端点分别在直 二面角α-l-β的两个面内转动， 若AB和平面α、β所成的角分别 为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围. 第3题图 ●参 1. A 由于A={a1，a2，a3}=A1∪A2，以A1为标准分类. A1是，则A2={a1，a2，a3}，这种分拆仅一种，即 C·C=1; 如A1为单元素集，有C种可能,对其中每一种，例如A1={a1}，由于必有a1，a3∈A2，且a1∈A2或a1A2都符合条件. 这种分拆有 C·C=6种. 如A1为双元素集，有C种可能,对其中每一种，不妨设A1={a1，a2}，则必a3∈A2，此外对a1，a2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有 C·4=12种. 若A1为三元素集，则A2可以是{a1，a2，a3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆. 2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论. 解析：根据题意，得an= ∴{a2n-1}是首项为，公比为的等比数列，{a2n}是首项为，公比为的等比数列. ∴ = 故选 C . 点悟：解分类讨论问题的一般步骤为： （1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论； （2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）； （3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； （4）归纳总结：将各类情况总结归纳. 3.分析：由于AB于l的位置关系不定，故需分类讨论. 解：（1）当AB⊥l时，显然θ1+θ2=90° . （2）当AB与l不垂直时，在平面α内作AC⊥l，垂足为C，连结BC. ∵平面α⊥平面β，∴AC⊥平面β. ∴∠ABC是AB与平面β成的角，即∠ABC=θ2. 在平面β内作BD⊥l，垂足为D，连结AD. 同理可得∠BAD=θ1. 在Rt△BDA和Rt△ACB中，∵BD （3）若线段AB在直线l上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°. 点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究. 第21计 图表开门 信息传送 ●计名释义 图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息，它有立意新颖，设计灵活，构思精巧，内涵丰富，解法多样等特点，因而备受当今命题人的青睐，许多创新题型每每在图表上打主意. 解图表型题目应在读图表，识图表和用图表上找窍点，通过观察找到其中的关键点，有效地实现图表语言到文字语言的转化，从而在思考上引起质的飞跃，从而达到破题的目的. ●典例示范 【例1】 如图，甲、乙两人分别 位于方格中A、B两处，从某一时刻开始 ，两人同时以每分钟一格的速度向东或 西或南或北方向行走，已知甲向东、 西行走的概率均为，向南、北行走的 概率分别为和p； 乙向东、西、南、北行走的概率均为q. 例1题图 (1)求p和q的值； （2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率. 【分析】 同时进行两个相互事件，因为概率的总和为1，因此有以下解答. 【解答】 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件， ∴+++p=1, ∴p=. 同理4q=1，∴q=. 【分析】 甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数，但我们可以看到，甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上.他们要在最短时间内相遇，他们必须沿着这个正方形的边行走. 【解答】 (2)如解图， 设甲、乙两人在C、D、E处 相遇的概率分别为pC、pD、pE. 【插语】 从图形中来， 回到图形中去，在图上标明 这三点，让我们的思路一目了然， 才会有下面的解答. 【继解】 甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇. 【插语】 每人朝对方走2步， 因为他们的速度相同（每分钟都是一格）. 例1题解图 【继解】 则pC=， pD=2， pE=×= ∴pC+pD+pE= 即所求的概率为. 【评说】 这是一个几何图形信息题，具有多样性、直观性的特征，充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决信息题的关键. 【例2】函数f (x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下： 【分析】 所求函数为复合函数，只需f (x)>0即可，但f (x)中含有四个系数a，b，c，d，所以先确定它们的值. 【解答】 设f (x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f (0)=4，∴a=2. 【插语】 为什么这样设?这来源于表格中y有三个0值点，关键点的选取，使我们的系数一下减少了3个. 此设是本题的一个突破口. 【续解】 ∴f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2). 要使y=lg f (x)有意义，则有f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0, 由数轴标根法解得-1 ∴函数y=lg f (x)的定义域为(-1，1)∪(2，+∞). 【评说】 本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力. ●对应训练 1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示. (1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P（ξ乙＝8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率； （2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）. 第1题图 2.如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则 sin= . 第2题图 ●参 1.（1）由图乙可知P（ξ乙＝7）＝0.2, P(ξ乙＝9）=0.2，P(ξ乙＝10）＝0.35, ∴P(ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.35=0.25. 由图甲可知P（ξ甲＝7）＝0.2，P(ξ甲＝8）=0.15，P(ξ甲＝9）＝0.3, ∴P(ξ甲＝10）＝1－0.2-0.15-0.3=0.35. ∵P(ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65，P(ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55. ∴甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为： P＝P（ξ甲≥9)×P(ξ乙≥9）=0.65×0.55=0.3575. (2)∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8, Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7, ∴Eξ甲>Eξ乙，所以估计甲的水平更高. 【评说】 条形统计图能直观反映各种数据，具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键. 2.从第一图的开始位置变化到第二图时，向量绕点O旋转了(注意绕点O是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量绕点O旋转了，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量绕点O旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O共旋转了-6π，即θ= -6π，因而 sin. 【评说】 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特殊位置入手，找到变化规律来解决问题. 第22计 数形开门 体美神丰 ●计名释义 “有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义. “凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征. “遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动. “图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补. “观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏. 函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等. 然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在. 这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？ ●典例示范 【例1】 若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . 【解答】 函数y=|ax-1|=，其图象由y=|ax|（a>0，a≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|ax-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当0 例1题解图 【评注】 本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”. 【例2】当曲线y=1+与y=k(x-2)+4有两个相异交点时， 实数k的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【解答】 方程即y=1+即x2+(y-1)2= 4 (y≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y=k(x-2)+4表示过（2，4）且斜率为k的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？ 如图，直线MB、MC与半圆切于B、C， 半圆的两端依次为A（-2，1）（2，1）. 显然，线段AB内任意一点与M的连线 与半圆都只一个公共点， ∴kmax=kMA=，设直线 MC交直线y=1于N，令 ∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β， 例2题解图 显然tanα=， ∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=， 于是斜率k∈，选 B . 【反思】 只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”. 【例3】 设实数(x，y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，则的最小值是 . 【解答】 圆(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心C (1,1)，半径r=1. 如图所示， 此圆在第一象限且与两轴相切， 为求的最小值. 先求的最大值. 表示圆上的点（x,y）与定点P（-1，0）连线的斜率. 例3题解图 ∴kPA≤≤kPB（其中PA、PB为过P所引圆的切线）. 设∠APC=∠CPB=θ，则tanθ=, ∴tan∠BPA=tan 2θ=. ∴ 从而 【例4】 已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当x∈(0，3)时，f (x)的图像如图所示，那么不等式f (x)·cosx<0的解集是 . 【思考】 将f (x)在 （-3，3） 内的图像补充完整如图所示. 可知：当x∈(-1，0)∪(1，3)时，f(x)>0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx<0，得x∈; 当x∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x)<0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx>0，得x∈∪(0,1) ∴f (x)·cosx<0的解集为∪(0,1)∪. 例4题图 例4题解图 【点评】 仅凭图像，无法断定f (x)的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能. ●对应训练 1.若不等式x2-log ax<0在(0，0.5)内恒成立，则a的取值范围是 （ ） A .≤a<1 B .0 2.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是（ ） A. B. C.1 D.2 3.方程的实根共有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.若方程=2有实数解，则a的取值范围是 （ ） A.(-2，0)∪(0，) B.［-2，0)∪(0，］ C.(-2，) D.［-2，］ 5.若关于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且仅有一个实数解，试求实数a的取值范围. ●参 1. A 在同一坐标平面内作y1=x2，y2=log ax的图像，如图， 由题意可知必有0 第1题解图 第2题解图 2. B 作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P0到x+y+2=0的距离最小，设P0（x0，y0）, 则L方程为y=-x+b与抛物线y＝x2联立得：x0=，则y0=x=. 所以P0到抛物线准线y=-的距离为. 3. A 设y1=， 变形得(x-2)2+y=8， ∴y1的图像是以（2，0）为圆心，2为半径的上半圆， 设y2=，变形得：(x-1)·(y2+1)=1，y2的图像是以直线x=1，y=-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根. 第3题解图 第4题解图 4. A 原方程可变形为lg=lg(x-a)，设y=，它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图，设y=x-a(y>0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当 -2≤a<时，两曲线有交点，又因为x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0，). 5.解析 ∵原方程 ∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a=在x>0时有且仅有一个实数解. 问题转化为直线y=x+a与曲线y= (x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a=或a≤0. 点评 本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了. 第23计 探索开门 智勇双锋 ●计名释义 所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”. “石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够. 过河人还需要两大素质：大智大勇！ 面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证. ●典例示范 【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足 条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】 显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题. 【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1 例1题图 例1题解图 证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1. 【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2 【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线. 故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数. ∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］ 当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时， 1-2x2<1+2x-x2 即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2 【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q. ∵a3a4=a1a6, ∴由 即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为an=·2n-1或an=·n-1 . （1）如an=·2n-1，设存在题设要求的m∈N，则2× = 化简得：22m -7·2m-8=02m=8，∴m=3. （2）如an=·n-1，设存在m∈N,使 2· 化简得：4(26-m)2－11·26-m-8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在. 综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为： an=·2n-1 . 【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b. (1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). （2）观察后请写出这个对应法则. （3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？ （5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式. 【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当 g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质. 【解答】 (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2. （2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积； ②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数. (3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x>，而x=是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x<，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为). (4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之). (5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a=，b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中，命a=，b=0，c取任意值即可，如f (x)= x2+1，f (x)= x2+，f (x)= x2+5. 【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件. ●对应训练 1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM| =d1，|AN|=d2，∠MAN=θ. (1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论； （2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值. 2.如图所示，已知在矩形ABCD中， AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC， 且PA=1. (1)问BC边上是否存在Q， 便得PQ⊥QD，并说明理由； （2）若BC边上有且只有一点Q， 使得PQ⊥QD，求这时二面角 Q—PD—A的大小. 第2题图 3.已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由. 4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件： ①原点O与直线x=1是它的焦点和准线； ②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由. ●参 1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x0，)， 连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C， 则|MN|=2|MC|， ∵|O′M|=|O′A|= ∴|MC|= 第1题解图 ∴|MN|=2p为定值. 即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p. (2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0) ∴d1= d2= ∴d+d=4p2+2x，d1d2= ∴= =4 当且仅当x=2p2，即x0=±p，y0=p时等式成立，此时 |O′M′|=|O′N′|=p. ∴∠MO′N=90°， ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°. 2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决. 【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD. ∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点. 这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD. (2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点. 当a=2时，只有BC的中点满足条件. ∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM. ∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD. 过M作MN⊥PD于N，连结NQ. 根据三垂线定理有，QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角. 在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD·sin∠MDN=1×. ∴tan∠MNQ=. ∴二面角Q—PD—A为arctan. 3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在. 【解答】 （Ⅰ）e=，∴，∴a2=3b2，即a=b. 过A（0,-b），B (a,0)的直线为. 把a=b代入，即x-y-b=0, 又由已知，解得b=1，∴a=. (Ⅱ)设C(x1，y1)，D（x2，y2）. 由 消去y， 得(1+3k2)x2+12kx+9=0. 必须 1+3k2≠0且Δ=（12k）2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ① 要存在k满足①且使, 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ② ∵y1=kx1+2，y2=kx2+2 ∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③ ∵x1+x2=，代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0. ∴k=满足①式. ∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是. 4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：. 化简为：(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0 将弦所在直线y=x+b代入得：(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0 设弦AB的两端点A(x1，y1)B (x2，y2)，AB中点M（x0，y0）则 x1+x2=，x1x2=，x0= 即y0=x0+b=+b，代入x+y=0，得b=-2. 从而x1+x2=2，x1·x2= 弦长|AB|= 解得e=2符合题意, 所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线. 第24计 杠杆开门 以轻拨重 ●计名释义 派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找. 其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力. 支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！ ●典例示范 【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积. 【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.如果A，B处各放1个质点，则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上，C点放1个质点，中点M处有2个质点，故重心G会聚了3个质点，按杠杆原理，CG=2GM. 至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？ 【解答】 设正四面体的顶点为V，底面中心为G，四面体中心为O. 由杠杆原理，O在GV的第1个四等分点上，即VO=3OG. 因此，正四面体的外半径R=h=3. 故正四面体体积为πR3=36π. 【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣. 直线l左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的斜率是（ ） A. B.-3 C. D.3 【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O（0，0）左移3个单位，上移1个单位得M（-3，1）. 于是k+l=kOM=.选 A . 【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择. 【例3】 （04·上海卷）若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f (x)= ( ) A .10-x-1 B .10x-1 C .1-10-x D .1-10x 【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A（9，1），将OA绕原点逆时针旋转90°得B（-1，9），代入各选项，仅 A 适合，∴选 A . 【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A（9，1），（经过旋转则得B（-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？ 【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是 （ ） 例4题图 A. B.5 C.6 D. 【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2.连AF、DF.则EF⊥面ADE. ∵VF—ADE=·EF·S△ADE=×3×2=. VF—ABCD=·DE·S□ABCD=·2·32=6. ∴V多面体=+6=.选D. 【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？ ●对应训练 1.动点A在双曲线=1上，B、C为双曲线的左、右焦点，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c满足a=10，c-b=6，则 tancot的值是 （ ） A. B . C. D.1 2.已知0 3.设{an}是公比为a,首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N+，点（Sn， Sn+1） ( ) A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上 C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上 4.函数y=x+sin |x|,x∈［-π,π］的大致图像是 （ ） 第4题图 ●参 1.A 取特殊图形.BC=10双曲线 焦点为B（-5,0）,C(5,0) c-b=62m=6, ∴m=3,n=4，双曲线方程为： =1, 离心率e=. 取特殊位置AC⊥BC，则有 A, ∴AC=,从而AB=, cos B=, sin B=，而C＝90°. 第1题解图 ∴ tan cot =·cot 45° =. 2. D 取特殊值.x=,y=,a=,满足0 3. D 取特殊值.取a=2,b=1,则Sn==2n-1.各选项依次为： A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1 取点（S2，S3）=(3，7)，代入各选项，仅D适合. 4. C 取图形上的特殊点.令x=-，则y=-+1，点应位于直线y=x上方，排除 A、B、D . 第25计 函数开门 以静显动 ●计名释义 函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数. ●典例示范 【例1】 设双曲线与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围. 【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式. 【解答】 按双曲线离心率的关系式，有 【插语】 公式e=本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域，即a的取值范围. 【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组 【插语】 我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围. 【续解】 消y后整理得 函数e=f (a)=在（0，1）和（1，）上都是减函数，故有f (a)>且f (a)≠.即所求范围是. 【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动. 【附录】 以下我们用函数性质讨论a2的取值范围. 由方程组解得：a2=h(x)=.由于≠0,所以a2≠1.因为，所以a2≤2. 由于相交的两点A、B对应着不同的x值，因此a2到x的对应是1对2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2. 【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0. 【解答】 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x). 由方程的特点，我们构造函数f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3. 【点评】 此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x2003+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解. 【例3】 在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0. (Ⅰ)设点A的坐标为(,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|. (Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值. 【解答】 (Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点，y2=2x(x≥0), |PA|2=， ∴当x=0时，|PA|取得最小值. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有 |PA|2=(x-a)2+y2=［x-(a-1)］2+(2a-1)(x≥0), ①当a≥1时，在x=a-1≥0处，|PA|取得最小值. ②当a<0时，在x=0处，|PA|取得最小值 【点评】 解题方向是建立目标函数，然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题. 【例4】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元.经过讨论有两种方案： （1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房一面的边长； （2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2）两种方案哪个更好？ 【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数，再通过讨论函数的最小值来解决问题. 【解答】 设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为米. （1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为:元， 故总费用为: y= 得: 所以， 当且仅当 即x=12∈(0，14)米时，ymin=35a (2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用为： 即 ∵但由于x=时，x=<14，x［14,+∞)，因此均值不等式此处失灵. 以下用求导法解决问题： ∵y′=2a（1-）. ∴x>时，y′>0，而14>. 故x∈［14,+∞）时函数y单调增. ∴x=14时，ymin= 综上所述，采用方案（1），利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元. 【点评】 函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点. ●对应训练 1.设a、b、c∈R，且它们的绝对值都不大于1，求证ab+bc+ca+1≥0. 2.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1在左支交于A，B两点,直线l过P(-2,0)和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围. 3.某工厂2005年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由. ●参 1.分析 构造函数f (a)=ab+bc+ca+1，f (a)是关于a的一次函数，由于a∈［-1,1］，只要证明f (1)≥0且f (-1)≥0，即可证明f (a)≥0. 证明 设f (a)=(b+c)a+bc+1，f (a)是关于a的一次函数. ∵a、b、c∈［-1,1］, ∴f (1)=b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0 f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0. ∴f (a)在［-1,1］上恒为非负，即f (a)≥0. ∴ab+bc+ca+1≥0. 点评 本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子结构特征构造出一次函数f (a)，从而由一次函数的图象及性质，使问题得以解决. 2.解析 由消去y得(k2-1)x2+2kx+2=0, 由题意得解得1 由P(-2,0)，M，Q(0,b)三点共线可求得b=. 设f (k)=-2k2+k+2，则f (k)在(1,)上为减函数. ∴，且f(k)≠0. ∴ ∴b<-(2+)或b>2. 点评 通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定. 3.思考 根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种.其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式. 设y1=f (x)=px2+qx+r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2=g(x)=abx+c. 据已知，得 解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7; a=-0.8，b=0.5，c=1.4 ∴f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7; g(x)=-0.8×0.5x+1.4. ∴f (4)=1.3，g(4)=1.35, 显然g(4)更接近于1.37，故选用y=0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好. 点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键. 第26计 数列开门 前后跟踪 ●计名释义 数列是特殊的函数，告诉了自变量是正自然数的函数，因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式，除通项公式外，还有前后跟踪关系的递推式.高考30年来，数列的难题几乎都出现在递推式中. ●典例示范 【例1】 若数列{an}满足：a1=1，an=+n+an-1， n∈N*，n≥2，求证：an=，n∈N*. 【证明】 在递推式中，分别令n=2，3，4,…，直到n，得到(n-1)个等式： a2=+2+a1 a3=+3+a2 a4=+4+a3…… an= 将这(n-1)个等式整体相加得 an=++…++2+3+…+n+a1 =. 当n=1时，a1=1,也适合上式， ∴an=，n∈N* 【点评】 这里an与an-1的系数相等（都是1），并且在等号的两旁，因此由递推式得到的（n-1）个等式相加后，很多项可以消去，进而顺利求出an. 由于数列可以看作是正整数n的函数，因此对于以递推关系式出现的问题，常常可以从递推关系式中的n=1，2，3，……入手，得到一系列的等式，通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算，使问题获得解决.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识. 【例2】 (2006年全国卷Ⅰ)设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+, n=1，2，3,…… （Ⅰ）求首项a1与通项an； （Ⅱ）设Tn=，n=1，2，3,……求证： 【解答】 （Ⅰ）a1=S1=a1-，解得a=2. an+1=Sn+1-Sn=an+1-an- (2n+2-2n+1), ∴an+1=4an+2n+1 . 这里an的系数是4，无法仿照例1直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以2n+1 得到 若令bn=，则有bn+1=2bn+1 (*) (*)式就是我们熟知的线性递推式，它可以运用待定系数法求解. 设bn+1+k=2(bn+k)，即bn+1=2bn+k. ∴k=1，故=2(n∈N*)， 即{bn+1}是以b1+1为首项，2为公比的等比数列. ∴bn+1=(b1+1)·2n-1bn=2n-1an=4n-2n.(n∈N*) （Ⅱ）Sn=an-×2n+1 += (4n-2n)-×2n+1 += (2n+1 -1)(2n-1). Tn=, ∴ 【点评】 这里的递推式an+1=4an+2n+1 化成bn+1=2bn+1后，形如an+1=Aan+B. 对于an+1=Aan+B：当A=1时，an+1=an+B， 即an+1-an=B，故通项an=a1+(n-1)B； 当A≠1时，an+1+k=Aan+B+k=A, 令k=，则(A-1)k=B，即k=, ∴{an+k}是以a1+k=a1+为首项，公比为A的等比数列. 于是an+k=·An-1 ，∴an=·An-1 -. 【例3】 (2006年安徽高考题)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=，Sn=n2an-n(n-1)，n=1,2,……写出Sn与Sn-1 的递推关系式(n≥2)，并求Sn关于n的表达式. 【解答】 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 ,代入Sn=n2an-n(n-1)中， 得Sn=n2(Sn-Sn-1 )-n (n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1) (*) 这就是Sn与Sn-1 的递推关系式. 将(*)式两边同除以n(n-1)得Sn-Sn-1=1(n≥2). 构造新数列，它是以2S1=2a1=1为首项，1为公差的等差数列. 于是=1+(n-1)×1=n，即Sn= (n≥2). 显然，上式当n=1时也成立.∴Sn=，n∈N*. 【点评】 这里构造新数列，关键在于能将（*）式变形为Sn-Sn-1=1,由此发现递推关系. 高考中许多数列问题，往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题，常常可以通过构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识，有助于创新能力的提高 ●对应训练 1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并此后每一个月生一对小兔，如果不发生死亡，问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？ 2.对任意函数f (x)，x∈D,可按图所示构造 一个数列发生器，其工作原理如下： 1输入数据x0∈D，经数列发生器 输出x1=f (x0); ②若x1D，则数列发生器结束工作； 若x1∈D，则将x1反馈回输入端， 再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去， 现定义f (x)= (1)若输入x0=则由数列发生器产生数列{xn}, 第2题图 请写出数列{xn}的所有项； (2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据x0的值； (3)若输入x0时，产生无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn 职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必证明) (2)证明ak>ak+1 (k=1,2,…,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义. (3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求. ●参 1.把第n个月的兔子总数记为f (n)，则f (1)=1，f (2)=1，f (3)=2，f (4)=3，f (5)=5，f (6)=8，f (7)=13,…….考查数列{f (n)}的规律，不难发现，从第三项开始，第一项都是前两项之和：f (3)= f (1)+f (2)；f (4)= f (2)+f (3)；f (5)=f (3)+f (4)；f (6)= f (4)+f (5)；f (7)=f (5)+f (6);…， f (13)= f (11)+f(12)=+144=233,所以，一对兔子一年可繁殖成233对. 2.(1)∵ f (x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞) ∴ 数列{xn}只有三项：x1=，x2=，x3=-1. (2)∵ f (x)= =x即x2-3x+2=0, ∴ x=1或x=2. 即当x0=1或2时，xn+1==xn 故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N) (2)解不等式x<, ∴ <0，得x<-1或1 综上所述，x1∈(1,2)时，由x1= f (x0), 得x0∈(1,2). 点评 本题主要考查函数的基本知识，数列的基本知识，解不等式的基本方法，以及综合运用知识的能力和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉，形式新颖，结构巧妙，富于思考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题. 3.(1)第1位职工的奖金a1=； 第2位职工的奖金a2=； 第3位职工的奖金a3=；…… 第k位职工的奖金ak=. (2)ak - ak+1=>0. 此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则. （3）设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则 f1(b)=，f2(b)=，…，fk(b)=. 得 Pn(b)= fn(b)=， 故 . 点评：本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职 工福利的实际应用，这正是近年高考命题的热点和重点. 第27计 方程开门 欲擒故纵 ●计名释义 数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容. 方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”. 方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来. ●典例示范 【例1】 求二项式展开式中的常数项. 【分析】 这是数算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数. 【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C 【插语】 在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r) 【续解】 由此得Tr+1=Cr=…=（-1）rCx 欲Tr+1为常数，只须=0. 【插语】 按“函数值”满足的条件，转入方程. 【续解】 解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C=210. 【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”. 【例2】 求 sin20°cos70°+sin10°sin50° 的值. 【解答】 令x=sin20°cos70°+sin10°sin50° ，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50° , 则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°) =sin90°+cos40°=1+cos40° ① x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin50°-cos10°cos50°) =sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°-] ② ①+②得x=，故sin20°cos70°+sin10°sin50°=. 【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一. 【例3】 已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k，且≤k≤，求实数a的取值范围. 【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m), 由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上, ∴a2=-4(m-1)(a-m) ① 而MP的斜率为k=，故m=ak+a. 将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1) (-ak), 即4ak2+4(a-1)k-a=0 ② 根据题意,方程②在区间[，]上有实根. 令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为 k=<0 ∴≤a≤4. ∴实数a的取值范围为［,4］. 【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解. 【例4】 （Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（Ⅱ）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列{cn}不是等比数列. 【解答】 （Ⅰ）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列， ∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0. 将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3. 而当p=2时, =3; 当p=3时， =2.均适合. 故满足条件的p的值为2或3. （Ⅱ）假设数列{cn}是等比数列，则c22=c1c3，即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)， 故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分别是{an}，{bn}的公比. 化简整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r. 这与题设中两数列公比不相等矛盾，因此数列{c n}不是等比数列. 【点评】 这里选取等比数列的前三项，根据等比中项的意义列方程求出p的值，再验证一般情况.第(Ⅱ)问的反证法中，也是通过构建方程获证. ●对应训练 1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= . 2.已知椭圆=1(a>b>0)，A,B的椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0)，求证： . 3.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn. ●参 1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解. 解：由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 令x=1得：f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 ① 令x=-1得f (-1)=［2-(-1)］5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 ② 两式相加再除以2得：a1+a3+a5=-121. 2.证明 若AB的中点为M, AB的垂直平分线为l：y=k(x-x0) ① 由于l与x轴相交,因此k≠0，故kAB=. 又kOM·（）=，故kOM =, ∴OM所在直线方程为y=x,代入①得x=k(x-x0). 因此所证的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题. 故由上述方程解得x=x0. (x为点M的横坐标) 但点M在椭圆=1内部，即-a 3.设等差数列{an}的前n项和Sn=an2+bn. 由S7=7，S15=75，得即解得a=，b= ∴Sn=n2n. ∴. ∴数列是首项为-2，公差为的等差数列. 故Tn=n2 n. 点评 因为等差数列（公差不为0）的前n项和公式是关于n的二次函数，因此可将等差数列的前n项和直接设为Sn=an2+bn的形式，往往能达到化繁为简的目的. 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)
则函数y=lg f (x)的定义域为 . x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y -80 -24 0 4 0 0 16 60 144 280
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