2021年全国高中数赛(福建赛区)预赛暨2021年福建省高中数学竞赛试题

暨2021（考试时间：2021年5月23日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上）1．若11x =，21x i =-，31x i =+（i 为虚数单位）为方程320x ax bx c +++=的三个解，则a b c +-=.

2．已知2411()f x x x =+，若(2)(21)f a f a -<+成立，则a 的取值范围为.

3．如图，在四边形ABCD 中，已知3cos 4BAD ∠=

，BAC DAC ∠=∠，AD AB <，且5AB =，AC BD ==AC AB AD λμ=+uuu r uuu r uuu r

（λ，R μ∈），则λμ+=.

（第3题图）

4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知6AB BC ==，12AA =，点M 、N 分别在

棱DA 、DC 上，二面角1D MN D --的大小为45︒.若三棱锥1D DMN -的体积为9

，则三棱锥

1D DMN -外接球的表面积为.

（第4题图）

5．已知()f x 和()g x 是两个二次项系数均为1的二次函数.若(6)35g =，(1)(1)21(1)(1)20f f g g -==-，则(6)f =.

6．若关于x 的不等式(2)1x x e ax -<+有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最小值为.

7．若正实数x ，y 满足(2)9x x y +=，则的最大值为.

8．已知离心率为2

的双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，R 、r 分别为12PF F △的外接圆、内切圆半径.若1260F PF ∠=︒，则R r =.

9．若5π是函数280()cos sin f x nx x n

=⋅的一个周期，则正整数n 的所有可能取值为.

10．若整数a 、b 、c 满足：010a ≤≤，010b ≤≤，

010c ≤≤，1020a b c ≤++≤，则满

足条件的有序数组()a b c ，共有组.

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）

11．已知数列{}n a 、{}n b 满足13a =，11221n n n a a ++=+-，12

n n n a b -=（*n N ∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；

（2）设(1)n n n c b -=，n T 是数列{}n c 的前n 项的和，求证：222n T >-.

12．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为23

，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、

右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，1F 为椭圆C 的左焦点，且11A F B △的面积为

2

.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(10)D ，的动直线l 交椭圆C 于E 、F 两点（点E 在x 轴上方），M 、N 分别

为直线1A E 、2A F 与y 轴的交点，求OM

ON 的值.

13．如图，ABC △的内切圆I 与三边分别相切于点D ，E ，F ，连接AD 与内切圆I 的

另一个交点为P ，过点P 分别作AC ，AB 的平行线，与圆I 的另一个交点分别为R ，

Q ，DPQ △和DPR △和的内心分别为

1

I 和2I ，求证：12I I EF ∥.

14．已知()x a f x e x =-，0x >，a R ∈.

（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的最大值；

（2）若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且12x x >，求证：122x x a +>.

15．设数列{}n a 是正整数数列，满足：1a a =，1(1)n n n a a n a +=++，

，1n =，2，3，….（1）证明：当3a =时，存在唯一一个正整数k ，使得2k a k =；（2）若3a >，试探究满足2k a k =的正整数k 的存在性及其个数，并证明你的结论．

注：这里()x y ，

表示正整数x ，y 的最大公约数.