(完整版)椭圆常见题型总结

1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆

22

2

21(0)x y a b a b

+=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ∆中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且

①

122PF PF a +=；

②22

2

12122cos 4c PF PF PF PF α=+-；

③12

121

sin 2PF F

S PF PF α∆=

=2tan 2

b α⋅（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>交于

1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上不同两点，

00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20

20

AB

b x k a y =-；

4、椭圆的离心率

范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a

e =

，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任一点，焦点

为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法

⑴定义法：根据椭圆定义，确定2

a ，2

b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程；

⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2

a ，2

b ，从而求出标准方程；

⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；

椭圆方程的常见题型

1、点P 到定点(4,0)F 的距离和它到定直线10x =的距离之比为1:2，则点P 的轨迹方程为 ；

2、已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2

214

x y +=上的动点，则AQ 中点M 的轨迹方程是 ；

3、平面内一点M 到两定点2(0,5)F -、2(0,5)F 的距离之和为10，则M 的轨迹为（ ） A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段

4、经过点(2,3)-且与椭圆2

2

9436x y +=有共同焦点的椭圆为（ ）

A

2211510x y += B 2211015x y += C 221510x y += D 22

1105

x y += 5、已知圆2

2

1x y +=，从这个圆上任意一点P 向y 轴做垂线段1PP ，则线段1PP 的中点M 的轨迹方程是（ ）

A 2

2

41x y += B 2

2

41x y += C 2214x y -= D 22

14

y x += 6、设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）

A

22132x y += B 22132x y -= C 22(1)132x y ++= D 22

123

x y += 7、动圆P 与圆221:(4)81C x y ++=内切与圆22

2:(4)1C x y -+=外切，求动圆圆心的P

的轨迹方程。

8、已知动圆C 过点A (2,0)-，且与圆22

2:(2)C x y -+=相内切，则动圆圆心的轨迹方

程为 ；

9、已知椭圆的焦点在y 轴上，焦距等于4，并且经过点(2,P -，则椭圆方程为 ；

10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点35

(,)22

A -，

B ，则该椭圆的标准方程为 ；

11、设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．

12、若平面内一动点M 到两定点1F ，2F 之和为常数2a ，则M 的轨迹是 ；

13、已知椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程；

14、已知椭圆的焦距是2，且过点(P ，求其标准方程；

椭圆定义的应用

1、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点1F 的弦且8AB =，若椭圆长轴长是10，

求21F A F B +的值；

2、已知Ａ、Ｂ是两个定点，4AB =，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA PB +的值可能为（ ）

Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５

3、椭圆221259

x y +=的两个焦点为1F 、2F ，Ｐ为椭圆上一点，若0

1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。

4、设Ｐ是椭圆22

1499x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF =，则2PF = 5、椭圆

22

1259

x y +=上一点Ｍ到焦点1F 的距离为２，Ｎ是1MF 中点，则ON =（ ）

Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ

32

6、在椭圆2

2

19

y x +=上有一点P ，1F 、2F 分别是椭圆的上下焦点，若122PF PF =，

则2PF = ；

7、已知1F 、2F 为椭圆

22

1259

x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB = ；

8、设1F 、2F 为椭圆22

1496

x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12=43PF PF ：：，求12

F PF ∆的面积。

9、0m n >>是方程2

2

1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的 条件；

10、若方程

22

125x y k k

+=--表示椭圆，则的取值范围为 ； 11、已知ABC ∆的顶点在椭圆2

213

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ；

椭圆与向量有关题型

例1已知椭圆C ：2

212

y x +=的右焦点为F ，右准线为l ，A l ∈，线段AF 交C 于点B ，

若3FA FB =，则AF = ；

例2已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>，过右焦点F 且斜率为k (0)

k >的直线与C 相交于A 、B 两点，且3AF FB =，则k 为 ；

1、已知椭圆2

214

x y +=的焦点为1F 、2F ，点M 在该椭圆上，且120MF MF ⋅=，则点M 到y 轴的距离为 ；

2、已知1F 、2F 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，

若12PF F ∆的面积为9，则b = ；

3、已知椭圆C ：

2

23

112y x +=的右焦点为F ，右准线为l ，A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =，则AF = ；

椭圆的离心率问题

例1、1F 、2F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1

OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为 ；

例2、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且0

1260F PF ∠=，求椭圆的离心率

的取值范围；

1、设1F 、2F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，

使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 ；

2、在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2C ，以点O 为圆心，

a 为半径作圆Ｍ，若过点2

(,0)a P c

所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率

为 ；

3、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，

若F 到AB

，则椭圆的离心率为 ； 4、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且122F F c =，点A 在椭

圆上，1120AF F F ⋅=，2

12AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率为 ；

5、已知1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为 ；

6、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。在椭圆上存

在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率取值范围是 ；

7、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交Ｃ于点D ，且

2BF FD =，则C 的离心率为 ；

8、以椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交

于A 、B 两点，已知OAB ∆是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；

9、已知A B C 分别为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点、上顶点、和左焦点，若

090ABC ∠=，则该椭圆的离心率为 ；

10设是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点,P 为直线上一

点,∆是底角为的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）

A ．

1

2

B ．

23

C ．

34

D ．

45

11椭圆22

221x y a b

+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若

|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

椭圆的焦点三角形

1、椭圆22

192

x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ；

12F F 32a x =21F PF 30

2、P 是椭圆22

12516

x y +=上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于 （ ）

()A 3

316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 3、P 是椭圆22

1259

x y +=上的一点，1F 和2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=。 （1）求12F PF ∆的面积；（2）求点P 的坐标。

焦半径问题 １椭圆221123

x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是的2PF 的 倍；

椭圆的中点弦问题

例1、已知椭圆22

1(0)ax by a b +=>>与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，C 是AB

的中点，若AB =，OC 的斜率为

2

，求椭圆方程。

1、直线l 交椭圆2211612x y +=于A 、B 两点，AB 中点的坐标是(2,1)，则直线l 的方程为 ；

2、已知椭圆的方程是22

11

x y +=，则以点(2,1)P -为中点的弦所在的直线方程是 ． 3、椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，且112PF F F ⊥，14,3PF =2143

PF =。 （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）若直线l 过圆22

420x y x y ++-=的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。