(沪教版)八年级数学专题训练专题07 一次函数的规律探究性问题(解析版...

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一、单选题

1．如图,在平面直角坐标系中,直线：交轴于点,交轴于点,,,…在直线上,点,,,…在轴的正半轴上,若,,,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在轴上,则第个等腰直角三角形是,其点的横坐标为（  ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】B

【思路指引】

先求出B1、B2、B3…的坐标,探究其规律,即可得到答案．

【详解详析】

解：直线y＝x＋1与x轴、y轴的交点分别为（-1,0）,（0,1）,

由题意得OA=OA1=1,

∵,,,…均为等腰直角三角形,

∴OB1=OA1=1,

∴点B1（1,0）,

∴B1B2=B1A2=1+1=2,

∴OB2=OB1+B1B2=1+2=3,

∴点B2（3,0）,

∴B2A3=B2B3=3+1=4,

∴OB3=OB2+B2B3=3+4=7,

∴点B3（7,0）,

∴B1（1,0）,B2（3,0）,B3（7,0）…,

∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…,

∴Bn的横坐标为2n-1,

∴当n=10时, 210-1=1024-1=1023

故选择B．

【名师指路】

此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题．

2．如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（,5）,点B坐标为（0,3）,点D在x轴上．若线段DB交直线于点C,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,△ABC面积的变化趋势是（     ）

A．先变大再变小    B．先变小再变大    C．无法确定    D．保持不变

【标准答案】D

【思路指引】

根据点A、点B坐标求出所在直线解析式为,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,点C始终在线段DB交直线上,在△ABC中,始终以AB边为底边,过C点作直线AB的垂线为高,根据两直线斜率可得出平行关系,利用平行线间距离处处相等可知无论点D运动到哪一点高不变,因此△ABC面积保持不变．

【详解详析】

解：设直线AB的解析式为,

将点A（,5）,点B（0,3）代入可得：

 ,

得出直线AB的解析式为：,

又∵点C所在直线解析式为：,

∴,

∵点C始终在线段DB交直线上,

在△ABC中,以AB边为底边,

则点D运动过程中高不变,

故△ABC面积保持不变．

故选：D．

【名师指路】

本题考查了求一次函数的解析式、斜率的性质、利用平行线间的距离解决问题等性质及定理,熟练运用以上性质定理是解题的关键．

3．如图,在直角坐标系中,正方形、、…、按如图所示的方式放置,其中点、、、…、均在一次函数的图象上,点、、、…、均在轴上,则点的坐标为（    ）

A．    B．

C．    D．

【标准答案】B

【思路指引】

首先分别求得A1,A2,A3,A4…的坐标,由此得到一定的规律,据此求出点的坐标．

【详解详析】

解：把x=0代入得,y=1,

∴A1的纵坐标是：1＝20,A1的横坐标是：0＝20﹣1,

把x=1代入得,y=2,

∴A2的纵坐标是：1+1＝21,A2的横坐标是：1＝21﹣1,

同理,A3的纵坐标是：2+2＝4＝22,A3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1,

∴A4的纵坐标是：4+4＝8＝23,A4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1,

据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1,横坐标是：2n﹣1﹣1．

即点的坐标为．

故选：B．

【名师指路】

此题主要考查了坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．

4．如图所示,已知点,,……在直线上,点,,……在x轴上,点,,……分别在y轴、、上,四边形、、……都是正方形,则下列说法：①点的坐标是；②；③点的横坐标是；④正方形的边长是其中错误的个数有（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．0个

【标准答案】A

【思路指引】

根据,求出,然后利用已知结合一次函数及正方形的性质,推出、、,,的规律,及推出正方形边长的规律,,,,,然后利用规律依次进行判断．

【详解详析】

解：如图：

,

,

,

又,

,

又四边形为正方形,

,

,

,

,

,

故①正确；

又,

,

又四边形为正方形,

,

,

,

,

,

故②正确；

、、,,

点的横坐标是,

故③错误；

,,,,,

故④正确；

综上所述：③错误,

故选：A．

【名师指路】

本题考查点的坐标规律,解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点,结合正方形的性质,寻找到点的坐标规律是解题的关键．

5．如图所示,在平面直角坐标系中,点,,,…都在轴上,点,,,…都在直线上,△,△,△,△,△,…都是等腰直角三角形,如果,则点的坐标是（      ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】B

【思路指引】

利用直线y＝x上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质,可分别求得B1、B2、B3的坐标,由此归纳总结即可求得B2021的坐标．

【详解详析】

解：∵是等腰直角三角形,,

∴A1B1＝OA1＝1,

∴点B1的坐标为（1,1）,

∵是等腰直角三角形,

∴A1A2＝A1B1＝1,

又∵是等腰直角三角形,

∴是等腰直角三角形,

∴A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝2,

∴点B2的坐标为（2,2）,

∵是等腰直角三角形,

∴是等腰直角三角形,

∴A3B3＝OA3＝OA2＋A2A3＝22,

∴点B3的坐标为（22,22）,

同理可得：A4B4＝OA4＝23,点B4的坐标为（23,23）,

A5B5＝OA5＝24,点B5的坐标为（24,24）,

……

∴B2021的坐标为（22020,22020）,

故选：B．

【名师指路】

本题主要考查一次函数图象上点的坐标,利用等腰直角三角形的性质求得B1、B2、B3的坐标是解题的关键．

6．如图,正方形、正方形、正方形的顶点、、和、、、分别在一次函数的图象和轴上,若正比例函数则过点,则的值是（    ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】B

【思路指引】

根据正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标,代入函数解析求得的值．

【详解详析】

解：当时,,则,

,则,

把代入知,,则,则．

此时,即

同理,,即．

,即．

,,即．

,,即．

把代入,

得,

故选：B．

【名师指路】

本题考查了一次函数图象上点的规律探究题、及正方形的性质,解题的关键是解答时按形成各点的形成顺序依次求出,从而找出规律．

7．在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,如图所示,依次作正方形、正方形,、正方形,使得点在直线上,点在轴正半轴上,则点的坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】C

【思路指引】

根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标,同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标,根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n-1,2n-1）（n为正整数）”,依此规律即可得出结论．

【详解详析】

解：当y=0时,有x-1=0,

解得：x=1,

∴点A1的坐标为（1,0）．

∵四边形A1B1C1O为正方形,

∴点B1的坐标为（1,1）．

同理,可得出：A2（2,1）,A3（4,3）,A4（8,7）,A5（16,15）,…,

∴B2（2,3）,B3（4,7）,B4（8,15）,B5（16,31）,…,

∴Bn（2n-1,2n-1）（n为正整数）,

∴点B2021的坐标为（22020,22021-1）．

故选：C．

【名师指路】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n-1,2n-1）（n为正整数）”是解题的关键．

8．如图,直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线上的点处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线上的点处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线上的点处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线上的点处后,仍沿平行于x轴的方向运动,…照此规律运动,动点C依次经过点,,,,,,…,,,…则当动点C到达处时,运动的总路径的长为（    ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】D

【思路指引】

由直线l1：y=x+1可知,A（0,1）,则B1纵坐标为1,代入直线l2：y=x+中,得B1（1,1）,又A1、B1横坐标相等,可得A1（1,2）,则AB1=1,A1B1=2-1=1,可判断△AA1B1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y轴的直线上两点横坐标相等,及直线l1、l2的解析式,分别求AB1+A1B1,A1B2+A2B2的长,得出一般规律．

【详解详析】

解：由直线l1：y=x+1可知,A（0,1）,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y轴的直线上两点横坐标相等,及直线l1、l2的解析式可知,B1（1,1）,AB1=1,

A1（1,2）,A1B1=2-1=1,AB1+A1B1=2,

B2（3,2）,A2（3,4）,A1B2=3-1=2,A2B2=4-2=2,A1B2+A2B2=2+2=4=22,

…,

由此可得An-1Bn+AnBn=2n,

所以,当动点C到达An处时,运动的总路径的长为2+22+23++2n=2n+1-2,

所以,当动点C到达A2021处时,运动的总路径的长为22022-2,

故选：D．

【名师指路】

本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律．

9．如图,在平面直角坐标系中,四边形,…都是菱形,点…都在x轴上,点,…都在直线上,且,则点的横坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】A

【思路指引】

分别过点作轴的垂线,交于,再连接

,利用勾股定理及根据菱形的边长求得、、的坐标然后分别表示出、、的坐标找出规律进而求得的坐标．

【详解详析】

解：分别过点作轴的垂线,交于,再连接

如下图：

,

,

,

在中,

根据勾股定理得：,

,

解得：,

的纵坐标为：,横坐标为,

,,

四边形,,,都是菱形,

,,,,

的纵坐标为：,代入,求得横坐标为2,

,

的纵坐标为：,代入,求得横坐标为5,

,,

,,

,,

,；

,,

,

则点的横坐标是：,

故选：A．

【名师指路】

本题是对点的坐标变化规律的考查,主要利用了菱形的性质,解直角三角形,根据已知点的变化规律求出菱形的边长,得出系列点的坐标,找出规律是解题的关键．

10．如图所示,直线与轴相交于点,点在直线上,点在轴上,且是等边三角形,记作第一个等边三角形；然后过作与直线相交于点,点在轴上,再以为边作等边三角形,记作第二个等边三角形；同样过作与直线相交于点,点在轴上,再以为边作等边三角形,记作第三个等边三角形；…依此类推,则第个等边三角形的顶点纵坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

【标准答案】D

【思路指引】

可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO=30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形,且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．

【详解详析】

解：设直线与x轴相交于C点．分别过A1、A2、A3作x轴的垂线,垂足分别为E、F、G

令x=0,则y= ；令y=0,则x=-1．

∴OC=1,OD= ．

∴

∴∠DCO=30°．

∵△OA1B1是正三角形,

∴∠A1OB1=60°．

∴∠CA1O=∠A1CO=30°,

∴OA1=OC=1．

∴OE=OA1=．

∴

即A1纵坐标为

同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2,,即A2纵坐标为；

第三个正三角形的边长=1+1+2=4,,即A3纵坐标为； 

∴第n个正三角形的边长=,An纵坐标为．

故选：D．

【名师指路】

此题考查一次函数的应用及正三角形的有关计算,综合性强,难度大．

二、填空题

11．如图在平面直角坐标系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3…都是等腰直角三角形,其直角顶点P1(3,3),P2,P3…均在直线上,则点P2021的纵坐标是 ___．

【标准答案】

【思路指引】

过点分别作,分别求出两点的纵坐标,找出规律,即可求解．

【详解详析】

解：过点分别作,如下图：

△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3…都是等腰直角三角形

则点分别为线段的中点,

由直角三角形的性质可得,,

由,则,

设,则,

又因为P2,P3…均在直线上

所以,解得,

同理可以求出

的纵坐标分别为,,

可以得到的纵坐标为

则点的纵坐标为

故答案为

【名师指路】

此题考查了直角坐标系中点坐标规律的探索,涉及了等腰直角三角形的性质,一次函数的性质等,根据已知条件利用相关性质求出的坐标,找到规律是解题的关键．

12．正方形,,,…,按如图所示的方式放置,点,,,…和点,,,…分别在直线和轴上,已知点,,则的横坐标是_____．

【标准答案】

【思路指引】

根据,,,,……,即可归纳出的横坐标．

【详解详析】

解：∵点,,,…和点,,,…分别在直线和轴上,已知点,,

∴（0,1）,（1,2）,（3,4）,……,

∴,（7,8）,,

∴,

故答案是：．

【名师指路】

本题主要考查一次函数图像和正方形的性质,根据点,,,,找出横坐标的变化规律,是解题的关键．

13．如图,在平面直角坐标系中,点,都在轴正半轴上,点,都在直线上,,,都是等边三角形,且,则点的横坐标是_______．

【标准答案】

【思路指引】

设△的边长为,根据直线的解析式得出,再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出,,从而得出,由点的坐标为,得到,,,,,,即可解决问题．

【详解详析】

解：过作轴于,过作轴于,过作轴于,如图所示：

设△的边长为,

则,,,

,,,,

,,

点,,,是直线上的第一象限内的点,

,

,

又△为等边三角形,

,

,,

,

,

点的坐标为,

,,,,,

,

,

点的横坐标为,

故答案为：．

【名师指路】

本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质等,解题的关键是找出规律．

14．如图,在平面直角坐标系中,直线：与轴交于点,如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形,使得点、、、…在直线上,点、、、…在轴正半轴上,则点的坐标是__________．

【标准答案】（22020,22021-1）

【思路指引】

根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质,可得出点A1、B1的坐标,同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标,根据点的坐标变化可找出变化规律：“Bn（2n-1,2n-1）（n为正整数）”,依此规律即可得出结论．

【详解详析】

解：当y=0时,有x-1=0,

解得：x=1,

∴点A1的坐标为（1,0）．

∵四边形A1B1C1O为正方形,

∴点B1的坐标为（1,1）．

同理,可得出：A2（2,1）,A3（4,3）,A4（8,7）,A5（16,15）,…,

∴B2（2,3）,B3（4,7）,B4（8,15）,B5（16,31）,…,

∴Bn（2n-1,2n-1）（n为正整数）,

∴点B2021的坐标是（22020,22021-1）．

故答案为：（22020,22021-1）．

【名师指路】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n-1,2n-1）（n为正整数）”是解题的关键．

15．正方形,正方形,正方形,…按如图所示放置,点,,,…在直线上,,,,…在轴上,已知,,则的坐标为______．

【标准答案】

【思路指引】

首先利用待定系数法求得直线A1A2的解析式,然后分别求得B1,B2,B3...的坐标,可以得到规律：Bn(2n-1,2n-1),据此即可求解.

【详解详析】

B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2),..正方形边长为1,正方形边长为2,

A1的坐标是(0,1),A2的坐标是 (1,2),代入得：,

解得：,

则直线A1A2的解析式是：,

A1B1= 1,点B2的坐标为(3,2),

点A3的坐标为(3,4),

A3C2= A3 B3 = B3C3= 4,

点B3的坐标为(7,4),

B1的纵坐标是：1=20,B1的横坐标是：1 =21 -1,

B2的纵坐标是：2=21,B2的横坐标是：3 =22-1,

B3的纵坐标是：4=22,B3的横坐标是7 =23-1,

Bn的纵坐标是：2n-1,横坐标是：2n -1,

则Bn：( 2n -1 ,2n-1),

故答案为：( 2n -1 ,2n-1)

【名师指路】

此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律． 此题难度较大,注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.

16．如图,在平面直角坐标系中,点,,,和,,,分别在直线和轴上,△,△,△,都是等腰直角三角形,如果点,那么点的纵坐标是__．

【标准答案】

【思路指引】

由题意易得,设,,,,,,,,,则有,,…..,,然后根据等腰直角三角形的性质可得,,….,进而将点的坐标依此代入即可求解．

【详解详析】

解：在直线,

,

,

设,,,,,,,,,

 则有,

,

,

又△,△,△,都是等腰直角三角形,

,

,

,

将点坐标依次代入直线解析式得到：

,

  ,

  ,

 ,

又,

,

 ,

 ,

,

故答案为：．

【名师指路】

本题主要考查一次函数的规律题,解题的关键是找到点的坐标规律．

17．平面直角坐标系xOy中,点A1,A2,A3,……和B1,B2,B3,……分别在直线y＝x+和x轴上,△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,……都是等腰直角三角形,如果A1（1,1）,则点A2021的纵坐标是 ___．

【标准答案】22020

【思路指引】

利用待定系数法可得A1、A2、A3的坐标,进而得出各点的坐标的规律．

【详解详析】

解：∵A1（1,1）,

∵△OA1B1为等腰直角三角形

∴点B1 (0,2),

∵直线OA1,B1A2,B2A3互相平行,而已知直线OA1的解析式为：

∴直线的解析式为：,

∴设A2（2+a,a）,则a=（a+2）+,

解得a=2,

∴A2（4,2）,

∵△B1A2B2为等腰直角三角形

∴点B2 (0,6),

直线的解析式为：

设A3（6+b,b）,则有b=（6+b）+,

解得b=4,

∴A3（10,4）,

由此发现点An的纵坐标为2n-1,

即点A2021的纵坐标是22020,

故答案为：22020．

【名师指路】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

18．如图,已知直线：,直线：和点,过点作轴的平行线交直线于点,过点作轴的平行线交直线于点,过点作轴的平行线交直线于点,过点作轴的平行线交直线于点,…,按此作法进行下去,则点的横坐标为________．

【标准答案】21010．

【思路指引】

点P（1,0）,P1在直线y=x上,得到P1（1,1）,求得P2的纵坐标=P1的纵坐标=1,得到P2（-2,1）,即P2的横坐标为-2=-21,同理,P3的横坐标为-2=-21,P4的横坐标为4=22,P5=22,P6=-23,P7=-23,P8=24…,求得,于是得到结论．

【详解详析】

解：∵点P（1,0）,P1在直线y=x上,

∴P1（1,1）,

∵P1P2∥x轴,

∴P2的纵坐标=P1的纵坐标=1,

∵P2在直线上,

∴ 

∴x=-2,

∴P2（-2,1）,即P2的横坐标为-2=-21,

同理,P3的横坐标为-2=-21,P4的横坐标为4=22,P5=22,P6=-23,P7=-23,P8=24…,

∴,

∴P2020的横坐标为=21010,

∴P2021的横坐标为21010,

故答案为：21010．

【名师指路】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,规律型：点的坐标,正确的作出规律是解题的关键．

19．如图,在平面直角坐标系中,点在直线图象上,过点作轴平行线,交直线于点,以线段为边在右侧作正方形,所在的直线交的图象于点,交的图象于点,再以线段为边在右侧作正方形依此类推,按照图中反应的规律,第个正方形的边长是_______．

【标准答案】

【思路指引】

通过计算可得第一个正方形的边长为2,第二个正方形的边长为6,……,通过探究规律,利用规律解决问题即可．

【详解详析】

解：由题意,,,

,

第一个正方形的边长为2,

,

,,

,

第二个正方形的边长为6,

,

,,即：, ,

,

第三个正方形的边长为18,

,,即：, ,

,

可得,,,,

第2020个正方形的边长为．

故答案为： ．

【名师指路】

本题考查一次函数图像上的点的特征,规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型．

20．如图,点B1在直线l：y＝x上,点B1的横坐标为2,过点B1作B1A1⊥l,交x轴于点A1,以A1B1为边,向右作正方形A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边,向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边,向右作正方形A3B3B4C3,延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去,则第n个正方形AnBnBn+1Cn的边长为 ___（结果用含正整数n的代数式表示）．

【标准答案】×（）n-1

【思路指引】

设直线y＝x与x轴夹角为,过B1作B1H⊥x轴于H,由点B1的横坐标为2,点B1在直线l：y＝x上,可得OH＝2,B1H＝1,OB1＝,tan＝＝,Rt△A1B1O中,求得A1B1＝OB1•tan＝,即第1个正方形边长是,在Rt△A2B2O中,求得第2个正方形边长是×,在Rt△A3B3O中,求得第3个正方形边长是×＝×（）2,在Rt△A4B4O中,求得第4个正方形边长是×＝×（）3,......观察规律即可得：第n个正方形边长是×（）n-1．

【详解详析】

解：设直线y＝x与x轴夹角为,过B1作B1H⊥x轴于H,如图：

∵点B1的横坐标为2,点B1在直线l：y＝x上,令x＝2得y＝1,

∴OH＝2,B1H＝1,OB1＝,

∴tan＝＝,

Rt△A1B1O中,A1B1＝OB1•tan＝,即第1个正方形边长是,

∴OB2＝OB1＋B1B2＝+＝×3,

Rt△A2B2O中,A2B2＝OB2•tan＝×3×＝×,即第2个正方形边长是×,

∴OB3＝OB2＋B2B3＝×3＋×＝×,

Rt△A3B3O中,A3B3＝OB3•tan＝××＝×,即第3个正方形边长是×＝×（）2,

∴OB4＝OB3＋B3B4＝×＋×＝×,

Rt△A4B4O中,A4B4＝OB4•tan＝××＝×,即第4个正方形边长是×＝×（）3,

.....．

根据规律可知：第n个正方形边长是×（）n-1,

故答案为：×（）n-1．

【名师指路】

本题考查一次函数图象上点的特征,涉及解直角三角形、规律探索等知识,解题的关键是tan＝的应用．

三、解答题

21．在学习了一次函数后,某校数学兴趣小组根据学习的经验,对函数y=-｜x｜-2的图象和性质进行了探究,下面是该兴趣小组的探究过程,请补充完整:

(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值如表:

②如图,在所给的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象；

(2)当一2＜x≤5时,y的取值范围是            ；

(3)根据所画的图象,请写出一条关于该函数图象的性质.

【标准答案】（1）①-2,②见解析；（2）；（3）函数图象关于y轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等.

【思路指引】

（1）①把x=0代入函数表达式,即可得出n的值；

②把表格中7个点画在坐标系中,根据点的变化趋势,即可画出此函数的图象；

（2）结合图象,当一2＜x≤5时,.

（3）结合图象,可得当x=-2时,y=0.

【详解详析】

解：（1）①把x=0代入y=-x-2,得y=-2

②如图所示即为函数图象；

（2）当一2＜x≤5时,从图像中可看出最高点纵坐标为-2,最低点纵坐标为-7,

∴.

（3）结合图象,可得函数图象关于y轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等.

【名师指路】

本题主要考查一次函数的图象与性质,解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及一次函数的性质．

22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2,那么,如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式,因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)．问题：

（1）点的“横负纵变点”为　  　   ,点的“横负纵变点”为　　  ；

（2）化简：；

（3）已知a为常数（1≤a≤2）,点M(,m)是关于x的函数图像上的一点,点M’是点M的“横负纵变点”,求点M’的坐标．

【标准答案】（1）,；（2）；（3）(﹣,﹣)

【思路指引】

（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．

（2）模仿例题解决问题即可．

（3）首先化简双重二次根式,再根据待定系数法,“横负纵变点”解决问题即可．

【详解详析】

解：（1）根据题目意思,

∵和,

点的“横负纵变点”为,点的“横负纵变点”为,

故答案为：,；

（2）∵

∴；

（3）∵,

∵点M(,m)是关于x的函数图像上的一点,

∴,

即：M（,）,

又∵点M’是点M的“横负纵变点

∴M′的坐标为（,）．

【名师指路】

本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,横负纵变点”的定义,双重二次根式的化简等知识,解题的关键是理解题意,学会模仿解决问题,属于中考常考题型．

23．小东同学根据函数的学习经验,对函数y = +进行了探究,下面是他的探究过程：

（1）已知x＝-3时= 0；x＝1 时= 0,化简：

①当x＜-3时,y＝      ；

②当-3≤x≤1时,y＝      ；

③当x＞1时,y＝       ．

（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象,根据图象,写出该函数的一条性质：　              ；

【标准答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点．

【思路指引】

（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；

（2）画出函数图象,则易得一条函数性质；

【详解详析】

解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0

∴当x＜﹣3时,y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；

②当﹣3≤x≤1时,y＝1﹣x+x+3＝4；

③当x＞1时,y＝x﹣1+x+3＝2x+2；

故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．

（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象,如图所示：

根据图象,该函数图象不过原点．

故答案为：函数图象不过原点；

【名师指路】

本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算,数形结合是解题的关键．

24．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接,其收费y1（元）与复印页数x（页）的关系如下表：

（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费,则可按每页0.10元收费,请写出明晰复印社每月收费y2（元）与复印页数x（页）的函数表达式；

（3）你若是班级的学习委员,在复印资料时,选择哪家复印社比较优惠,说明理由．

【标准答案】（1）y1与x的函数关系满足一次函数关系．（2）y2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社；当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．

【思路指引】

（1）设y1=kx+b,由题意找出满足两个量的函数关系式,即可得解．

（2）由题中三个量的关系即可得出函数表达式．

（3）由前两题的函数表达式,找出中间量,由此再得出一元一次不等式,即可得解．

【详解详析】

解：（1）设y1=kx+b,把（100,15）和（200,30）分别代入,得：

,

解得：．

∴函数的表达式可能为y1=0.15x；

把（400,60）和（1000,150）分别代入,可得等式成立．

∴y1与x的函数关系满足一次函数关系．

（2）由题意得,y2=0.1x+200．

（3）由,解得：

．

即当复印4000页是,两家收费均为600元；

∴此时选择两家都可以．

由0.15x＞0.1x+200,

解得：x＞4000；

∴当复印量大于4000页时,宏图复印社的收费大于明晰复印社,

此时应选择明晰复印社．

同理,当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．

综上所述,当复印量等于4000时,选择两家均可；

当复印量大于4000页时,选择明晰复印社．

当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．

【名师指路】

本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用,理解题中各个量的关系是解题的关键．

25．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2)．

（1）求k、b的值；

（2）填写下列各点的坐标：B3(      ,      ),Bn(      ,      )．

【标准答案】（1）；（2）7,4；2n﹣1,2n﹣1

【思路指引】

（1）根据已知B1（1,1）,B2（3,2）,求出A1（0,1）,A2（1,2）,就可以确定一次函数的解析式；

（2）根据图象能够求得B3（7,4）,通过观察图象可以得到Bn的横坐标是An＋1的横坐标,Bn的纵坐标是An的纵坐标；再通过An（2n﹣1﹣1,2n﹣1）的规律,确定Bn（2n﹣1,2n﹣1）的规律,进而求解本题．

【详解详析】

解：（1）∵点B1（1,1）,B2（3,2）,

∴A1（0,1）,A2（1,2）,

将点A1,A2代入直线y＝kx＋b（k＞0）得：,

解得：；

（2）通过观察图象可知Bn的横坐标是An＋1的横坐标,Bn的纵坐标是An的纵坐标,

∵A3（3,4）,A4（7,8）,

∴An（2n﹣1﹣1,2n﹣1）,

∴Bn（2n﹣1,2n﹣1）,

∴B3（7,4）．

故答案为：（1）；（2）7,4,2n﹣1,2n﹣1．

【名师指路】

本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．

26．平面直角坐标系中,设一次函数y＝（2a﹣1）x+3﹣b的图象是直线l1．

（1）如果把l1向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,求a,b的值；

（2）当直线l1过点(m,6﹣b)和点(m+3,4a﹣7)时,且﹣3＜b＜12,求a的取值范围；

（3）点P(﹣2n+3,3n﹣1)在直线l2上运动,直线l2与直线l1无交点,求a、b所需满足的条件．

【标准答案】（1）a的值为2,b的值为0；（2）﹣＜a＜1；（3）

【思路指引】

（1）根据一次函数平移的规律列方程组求解；

（2）将两点坐标代入解析式得出方程组,求出a、b的等量关系式,再根据b的取值范围求出a的取值范围；

（3）先设点P（x,y）,然后根据点P坐标找出x、y之间关系式,利用两直线无交点即平行（k相等,b不等）列出算式求解．

【详解详析】

解：（1）∵y＝（2a﹣1）x+3﹣b向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,

∴ ,

∴,

即a的值为2,b的值为0；

（2）由题意知,

代入点(m,6﹣b)和点(m+3,4a﹣7),得

 ,

两式相减得,b＝2a+10,

∵﹣3＜b＜12,

∴﹣3＜2a+10＜12,

∴﹣＜a＜1；

（3）设点P坐标为（x,y）,则 ,

由①知,n＝（3﹣x）＝,

代入②得,3（）﹣1＝y,

∴y＝,

∵直线l2与直线l1无交点,

∴,

解得．

【名师指路】

本题考查一次函数的图象和性质,以及一次函数平移的规律,掌握基本的性质是解题的关键．

27．一个水库的水位在最近内持续上涨．表记录了这内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度．

（2）水位高度y是否为时间t的函数？如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？

（3）据估计这种上涨规律还会持续,预测再过水位高度将为多少米．

【标准答案】（1）是,在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的；（2）,图见解析,可以近似地表示水位的变化规律；（3）

【思路指引】

（1）根据题目要求描出表中数据对应的点,连接画出的点可得这些点是在一条直线上,继而根据一次函数的性质得出规律；

（2）根据待定系数法求解析式,根据数形结合的思想画出函数图象,结合一次函数的性质即可求得水位的变化规律；

（3）由题意可得再过,即,代入函数解析式即可求解．

【详解详析】

解：（1）如图,描出表中数据对应的点可以看出,这6个点在一条直线上．再结合表中数据,可以发现每小时水位上升．由此猜想,如果画出这内其他时刻（如等）及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．

（2）由于水位在最近内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都有唯一的值与其对应,所以y是t的函数．开始时水位高度为,以后每小时水位上升．

∴函数是符合表中数据的一个函数,它表示经过水位上升,即水位y为．其图象是图中点和点之间的线段．

如果在这内,水位一直匀速上升,即升速为．那么函数就精确地表示了这种变化规律．即使在这内,水位的升速有些变化,而由于每小时水位上升是确定的,因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．

（3）如果水位的变化规律不变,则可利用上述函数预测,

再过,即时,

∴水位高度．

把图中的函数图象（线段）向右延伸到所对应的位置,得如图,从它也能看出这时的水位高度约为．

【名师指路】

本题考查一次函数的综合题的应用,涉及到描点法画函数图象,待定系数法求解析式,一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握一次函数的有关知识,利用数形结合的思想．

28．小明根据学习函数的经验,对函数进行了探究,已知当时,；当时,．探究过程如下,请补充完整：

（1）k＝        ,b＝         ；

（2）在给出的平面直角坐标系中,画出函数图象,并写出这个函数的一条性质：                       ；

（3）若函数的图象与该函数有两个交点,则m的取值范围为                   ．

【标准答案】（1）2,-1；（2）作图见解析,当x>2时,y随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）＜m＜

【思路指引】

（1）将（0,）和（2,1）带入函数解析式即可求解；

（2）按照列表、描点、连线的步骤画出函数图像,然后根据函数图像写出一条函数性质即可；

（3）当直线和两段函数分别平行时,均有一个交点,因此如若有两个交点,斜率k应该在两段函数的斜率k之间．

【详解详析】

（1）根据题意,将（0,）和（2,1）带入函数解析式,得

,

解得k=2,b=－1

故答案为2,-1；

（2）根据题意列表如下：

由图像得,性质：当x>2时,y随x的增大而增大（答案不唯一）．

（3）由（1）知,

根据（2）图像,当时,,

当时,,

∴＜m＜时,的图像与该函数有两个交点

故答案为＜m＜．

【名师指路】

本题考查了列表法画函数图像,一次函数的性质,利用函数图像解不等式,是本部分内容的重点考点,严格按照列表、描点、连线的方法即可画出函数图像；确定交点问题时,要注意两条直线平行,斜率相等,两条直线垂直,斜率乘积为-1．

29．如图,在平面直角坐标系中,将ABO绕点B顺时针旋转到A1BO1的位置,使点A的对应点A1落在直线y＝x上,再将A1BO1绕点A1顺时针旋转到A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落在直线y＝x上,依次进行下去…,若点A的坐标是(0,1),点B的坐标是(,1),则点A2020的横坐标是__．

【标准答案】

【思路指引】

先求出点,,,的横坐标,探究规律即可解决问题．

【详解详析】

解：根据将△绕点顺时针旋转到△的位置可知：,

,

当时,,即,

,

如图,延长交轴于,则,

,

,

,

点的横坐标为,

同理可得：点的横坐标,

点的横坐标,

点的横坐标,

点的横坐标是,即．

故答案为．

【名师指路】

本题考查坐标与图形的变换旋转,一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是学会从特殊到一般,探究规律,由规律解决问题,属于中考常考题型．

30．在平面直角坐标系xOy中,A1,A2…Ak是k个互不相同的点,若这k个点横坐标的不同取值有m个,纵坐标的不同取值有n个,p=m+n则称p为这k个点的“平面特征值”,记为T＜A1,A2,…Ak＞＝p．如：点M（2,1）点N（3,1）,则T＜M,N＞＝2+1＝3

如图,正方形ABCD的边AB在x轴上,直线l与直线AC,CD交y轴于点E,已知O为AB的中点,点B的坐标为（4,0）．

（1）T＜A,B＞＝　 　,T＜A,B,E＞＝　 　；

（2）点F（0,b）为y轴上一动点,过点P作直线l//x轴,直线BD的交点记为P,Q,请直接写出T＜A,B,C,D,E,F,P,以及相应的b的取值范围．

【标准答案】（1）3,5；（2）当b<0或08时T=8；当b=0或b=8时,T=5；当b=4时,T=6.

【思路指引】

（1）根据已知,写出A、B、E的坐标,然后进行求解即可；

（2）根据b的不同取值范围,画出图像,分别写出A、B、C、D、E、F、P、Q的坐标即可得到答案.

【详解详析】

解：（1）①∵四边形ABCD是正方形,AB在x轴上,O为AB中点,B（4,0）,

∴A（-4,0）,

∴m=2,n=1,

∴T＜A,B＞=m+n=3；

②由已知可得A（-4,0）,B（4,0）,E（0,8）,

∴m=3,n=2,

∴T＜A,B,E＞=m+n=5；

（2）设直线AC的解析式为,把A（-4,0）,C（4,8）代入得：

,

解得,

∴直线AC的解析式为,

令,得,

∴P（b-4,b）,

同理得到Q（4-b,b）,

当b＜0时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,b）,P（b-4,b）,Q（4-b,b）,

∴横坐标有-4、4、0、b-4、4-b一共5个,纵坐标有0、8、b共3个,

∴T=8；

当b=0时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,0）,P（-4,0）,Q（4,0）,

∴横坐标有-4、4、0一共3个,纵坐标有0、8共2个,

∴T=5；

当0＜b＜4时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,b）,P（b-4,b）,Q（4-b,b）,

∴横坐标有-4、4、0、b-4、4-b一共5个,纵坐标有0、8、b共3个,

∴T=8；

当b=4时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,4）,P（0,4）,Q（0,4）,

∴横坐标有-4、4、0一共3个,纵坐标有0、8、4共3个,

∴T=6；

当4＜b＜8时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,b）,P（b-4,b）,Q（4-b,b）,

∴横坐标有-4、4、0、b-4、4-b一共5个,纵坐标有0、8、b共3个,

∴T=8；、

当b=8时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,8）,P（4,8）,Q（-4,8）,

∴横坐标有-4、4、0一共3个,纵坐标有0、8共2个,

∴T=5；

当b＞8时,如图：

此时A（-4,0）,B（4,0）,C（4,8）,D（-4,8）,E（0,8）,F（0,b）,P（b-4,b）,Q（4-b,b）,

∴横坐标有-4、4、0、b-4、4-b一共5个,纵坐标有0、8、b共3个,

∴T=8；

综上所述,当b<0或08时T=8；当b=0或b=8时,T=5；当b=4时,T=6.

【名师指路】

本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征,涉及新定义和正方形的性质,解题的关键是能够读懂“平面特征值”的定义.