第七章 微分方程测试题A卷

一、填空题（每小题4分，共20分）

1、方程  的通解是                  

2、方程  的通解是                 

3、以  为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为            

4、已知方程  的积分曲线在点处与直线相切，则该积分曲线的方程为                     

5、方程 的一个只含有的积分因子为             

二、选择题（每小题4分，共20分）

1、若  是方程   的两个特解，要使  也是解，则  与  应满足的关系是 [    ]

（A） （B） （C） （D）.

2、下列方程中为全微分方程的是 [    ]

（A）； （B）；

（C）； （D）.

3、设为实常数，方程  的通解是 [    ]

（A） （B） 

（C） （D） .

4、方程  的特解形式为 [    ]

（A）  （B）

（C）  （D） 

5、已知  ，则函数  的表达式为 [    ]

（A）  （B） 

（C）  （D） .

三、解答题（共60分）

1、（8分）求方程  的通解.

2、（6分）求方程 的通解.

3、（8分）求微分方程  的通解.

4、（10分）求解 .

5、（6分）求方程  的通解.

6、（10分）求方程  的通解.

7、（12分）求满足条件  且具有二阶连续导数的函数，使方程是全微分方程.并求出全微分方程经过点   的一条积分曲线.

第七章  微分方程测试题B卷

一、填空题（每小题5分，共25分）

1、微分方程  的通解是                  .

2、微分方程  的通解是                 .

3、微分方程的通解为            .

4、微分方程 得通解是                     .

5、微分方程 的待定系数法确定的特解形式（不必求出系数）

是            .

二、选择题（每小题5分，共25分）

1、函数（其中是任意常数）是微分方程的  [   ]

（A）通解； （B）特解；

（C）不是解； （D）是解，但不是通解，也不是特解.  

2、微分方程（为整数） [   ]

（A）当或1时为伯努利方程； （B）当或1时为伯努利方程；

（C）当或1时为线性方程； （D）为全微分方程.

3、函数的图形上点的切线为，且满足微分

则此函数为 [   ]

（A） （B） 

（C） （D）.

4、方程  的一个特解应具有形式为 [   ]

（A）； （B） ；

（C）； （D） .

5、特解形式为 [   ] 

（A）  （B） 

（C）  （D） .

三、解答题（共50分）

1.（10分）求微分方程  的通解.

2、（10分）验证 为全微分方程，并求其通解.

3、（10分）求微分方程的通解.

4、（10分）求微分方程 的通解.

5、（10分）求方程  的通解.

综合测试题A卷答案

一、填空题

1..  2. .

 .

二、选择题

1、B   2、C   3、D   4、B   5、D

三、解答题

1、 解：令 ，则 ，代入原方程得 即 ，两边积分得，代回原方程，得通解

.

2、解： 方程改写为 ，则通解为

3、 解：设 有   ，则原方程为全微分方程，于是

故原方程的通解为 

4、 解：此方程不含，令 ，则 ，原方程化为

此方程为伯努利方程，令 ，上述方程化为 

则 ，

即 ，由初始条件 得 ，于是，方程化为 ，或 , 由初始条件应取 ，即 ，积分得 ，再由初始条件得 ，所以原方程的特解为   或 .

5、 解：特征方程为 ，特征根为 ,方程的通解为 .

6、 解：对应的齐次方程为 ，其特征方程为 ,特征根为 ，齐次方程的通解为 . 因 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为,代入原方程，比较系数得 ，于是得到一个特解 ,所求方程的通解为

.

7、解：由全微分方程的条件知：，即，对应的齐次方程的特征根为 . 齐次方程的通解为 .  因为不是特征根，则方程的特解形式为 ，代入方程解得，故 ，方程的通解为 

，代入初始条件，得，因此，所求函数为,将其代入原方程中，得全微分方程

再求其满足  的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为

,

由条件  得 ，故所求积分曲线为.

综合测试题B卷答案

一、填空题

1、 2、.  3、

 4、.、.

二、选择题

1、D  2、B  3、C  4、C  5、 B.

三、解答题

1、解：方程变形为      ，

通解为      .

2、解： 设， 因   ，所以原方程为全微分方程.

方程变形为   ，

即                ，

通解为              .

3、解：这是伯努利方程.

方程两边除以，得         .

令 则，代入原方程，得

                    ，

这是一阶线性方程，其解为  .

回代的通解             .

4、解：设则，原方程化为是一阶线性齐次微分方程.其通解    即 ，所以原方程的通解为.

5、解：特征方程为  ，特征根为 ，

所求通解为  .