线性代数期末考试试卷-答案合集详解

一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共1０分)

1. 若,则＿_＿___＿___。

2.若齐次线性方程组只有零解,则应满足  　　     。 　 

3.已知矩阵，满足,则与分别是      　　　   阶矩阵。

4．矩阵的行向量组线性      　 　 。

5．阶方阵满足,则   　  　　　   。

二、判断正误(正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共１0分）

1. 若行列式中每个元素都大于零,则。(  　)

２. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ 　 ) 　  

3.　向量组中，如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。（　　 ）

4. ,则。(  　)

5. 若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。 （　  )

三、单项选择题  (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题２分,共10分) 

１． 设为阶矩阵,且，则（  　　 ）。

① ﻩ②　　          ③     　 ﻩ④ 4

2． 维向量组 (3　≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是(     ）。

① 中任意两个向量都线性无关

② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④ 中不含零向量

３.　下列命题中正确的是（  　  ）。　 　     　　                 　    　　    

①  任意个维向量线性相关

② 　任意个维向量线性无关

③ 　任意个 维向量线性相关

④  任意个 维向量线性无关

４． 设，均为ｎ　阶方阵,下面结论正确的是( 　 　 )。

①　若，均可逆，则可逆   ﻩﻩﻩ    ②　若,均可逆,则  可逆

③ 若可逆,则 可逆 　      ﻩ        ④ 若可逆，则 ，均可逆

５.　若是线性方程组的基础解系，则是的(  　）

① 解向量　  　　    ② 基础解系   　     ③ 通解 　　   　    ④ A的行向量

四、计算题 (　每小题9分，共6３分)

1. 计算行列式。

解·

2. 设，且　 求。

解.  　      ，

3． 设  且矩阵满足关系式　求。

4. 问取何值时,下列向量组线性相关?。

5. 为何值时,线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。

① 当且时，方程组有唯一解;

②当时方程组无解

③当时,有无穷多组解,通解为

6. 设　求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

７. 设,求的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)

若是阶方阵，且　证明 。其中为单位矩阵。

×××大学线性代数期末考试题答案

一、填空题

1．  5       ２.  　　    3.  ﻩ４. 相关       

5.  

二、判断正误

１．  ×　  ﻩ２．  √　 　  ﻩ3.  √        4. 　　 √　 ﻩ5.  　 ×

三、单项选择题

1.  ③　  ﻩ2.　 　③　  　     ３.  ③         4.  　 ② 　  　    5.　　 ①

四、计算题

1．　

２.

　   　    ,

3. 

4.　

当或时，向量组线性相关。

5.

① 当且时，方程组有唯一解;

②当时方程组无解

③当时,有无穷多组解,通解为

6. 

则 ,其中构成极大无关组,

7．　

特征值，对于λ１=１，,特征向量为

五、证明题

∴，　   　   ∵

一、选择题(本题共4小题,每小题4分，满分1６分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1、设，为ｎ阶方阵，满足等式,则必有(   　　 ）

(A）或; (B); (Ｃ)或；　（D)。

2、和均为阶矩阵,且，则必有（　     )

(A）  ;　   (Ｂ);   （C) ．　    　（D)  。

３、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是（ 　　 　　)

(A)  的列向量线性无关;　     (B)　的列向量线性相关;

(C) 的行向量线性无关; 　 　　　（D) 的行向量线性相关.

4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（　 　  ）

(A） 的秩小于;        　　　   (B) ;

(C) 的特征值都等于零;　      (D） 的特征值都不等于零；

二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)

5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则＝ 　  　　。

６、为阶矩阵,且，则　　　 　       　   。

7、已知方程组无解,则   　   。

８、二次型是正定的，则的取值范围是　　 　　   　 　　　 　   。

三、计算题(本题共2小题，每题８分,满分1６分)

9、计算行列式

10、计算阶行列式

四、证明题(本题共２小题,每小题８分,满分16分。写出证明过程）

11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：

(1） 能有线性表出;

（2)　不能由线性表出。

１2、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵,可逆，且。

证明

(1) ；

（2) 。

五、解答题(本题共３小题,每小题1２分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）

13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。

14、已知方程组与方程组有公共解。

求的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知，，是它的三个解向量，且

,

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

１、Ｃ；　２、D； ３、Ａ; 4、Ａ。

二、填空题

5、-１2５;　    　    6、；　 　   7、-1；   　  　 ８、。

三、计算题

9、解:第一行减第二行，第三行减第四行得：

第二列减第一列,第四列减第三列得：      　 　    　　 (4分)

按第一行展开得

按第三列展开得

。      （４分）

10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形行列式

 　(4分)

　　(4分)

四、证明题

1１、证明:

(1)、 因为线性无关,所以线性无关。,

又线性相关,故能由线性表出。     　　  (4分）

,

（2)、(反正法)若不,则能由线性表出,

不妨设。

由（1)知,能由线性表出，

不妨设。

所以,

这表明线性相关，矛盾。　   

  　　 1２、证明 　

（1)

　　     (4分)

（２)

由（1）得:，代入上式得

 　 　   　 　 　 　　　　 　　       (4分）

五、解答题

13、解：

（１）由得的特征值为,,。 　  (4分)

(2）的特征向量为，

的特征向量为，

的特征向量为。    　  　        　   　   （３分）

(３）因为特征值不相等,则正交。 　 　 　   　       (2分)

(4）将单位化得，, 　 　(2分)

(5）取

（6） 　    　　　   　　     　       　   　 （1分)

1４、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为

因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。   　　  　 　  　　  　      (5分)

另一方面，记向量,则

直接计算得,就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为

,。 　    　　 　(7分)

１5、解:将与联立得非齐次线性方程组:

若此非齐次线性方程组有解， 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 

对③的增广矩阵作初等行变换得:

　     　.  　　(４分）

1°当时,有，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解,此时

，

则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:　,

所以与的全部公共解为，k为任意常数.         　（４分）

2° 当时，有,方程组有唯一解, 此时

,

故方程组的解为：, 即与有唯一公共解.   (4分)

线性代数习题和答案

第一部分  选择题  （共28分)

一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式=m,=n，则行列式等于( 　

　　A. m+nﻩ    ﻩﻩB.　－(m+n)

  C．　ｎ－m      ． ｍ-n

２.设矩阵A＝，则Ａ-1等于（ 　)

  A． ﻩﻩ     B.　

  C． ﻩﻩ     D.　

3.设矩阵A=，Ａ*是Ａ的伴随矩阵,则A *中位于(1，2）的元素是（　 　　 )

  Ａ. –6        B. ６

　 C.　2ﻩ      D.　–２

４.设A是方阵，如有矩阵关系式AB＝AC，则必有（ 　 ）

  Ａ.　Ａ　=0      Ｂ. BC时Ａ＝0

　 C. A0时B=Cﻩ     D． ｜A｜0时B=Ｃ

５.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩(AT）等于(  　  ）

  A． １   

 　C． 3      ． 4

6.设两个向量组α1,α2，…,αs和β１,β２,…,βs均线性相关，则（

 　Ａ.有不全为０的数λ1，λ2,…,λs使λ１α１＋λ2α２+…+λsαs=0和λ１β１+λ2β2+…λsβs=0

 　B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ１(α1+β１)+λ2(α2+β2)+…＋λs（αs+βs）=0

　 C.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α１－β1)+λ2(α２-β2）+…+λs（αｓ-βs）=0

  Ｄ.有不全为0的数λ1,λ2，…,λｓ和不全为0的数μ1，μ２,…，μs使λ１α１+λ2α2+…+λｓαｓ=０和μ1β1+μ2β2+…+μsβs＝0

７.设矩阵Ａ的秩为r，则A中（　 　  ）

　 A．所有r-1阶子式都不为０ﻩ   B．所有r－1阶子式全为0

　 Ｃ.至少有一个r阶子式不等于0 Ｄ.所有r阶子式都不为０

8.设Ax=ｂ是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ 　 ）

　 A.η1+η2是Aｘ=0的一个解ﻩ  B．η1+η2是Ax=b的一个解

  C.η1－η2是Ax=0的一个解  D．２η１-η2是Ax=b的一个解

９.设n阶方阵A不可逆,则必有（ 　)

  A.秩(A)<ｎﻩ    B．秩（Ａ)=n－1

  C.A=０ﻩ     Ｄ．方程组Ax=0只有零解

１0.设A是一个n(≥3）阶方阵,下列陈述中正确的是(　 )

  A.如存在数λ和向量α使Aα＝λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

 　B.如存在数λ和非零向量α,使(λＥ-A)α=0,则λ是A的特征值

  Ｃ.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

  Ｄ．如λ1,λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值,α1，α2,α3依次是A的属于λ1,λ2，λ3的特征向量,则α1,α２，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（

  A.　k≤３    Ｂ. k<3

  C． k=3     　ｋ>3

12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是(  　  )

　 A.|A|2必为1    B.|A｜必为1

 　Ｃ.A-1=AT    Ｄ.A的行（列）向量组是正交单位向量组

1３.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵,B=CTAＣ.则（ 　 )

 　A.A与Ｂ相似

  B. A与B不等价

　 Ｃ. A与B有相同的特征值

  D.　A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（　  　 ）

  A.   B．

　 C.    D．

第二部分  非选择题(共72分）

二、填空题（本大题共1０小题,每小题2分，共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

１５.　   　   　.

１6.设A=，B=.则A＋2Ｂ＝　 　    　　.

17.设Ａ=(aij)3×3，｜A｜＝２，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,ｊ＝1,2,３）,则（a11A21+a12A22+a１３Ａ23）2+(a2１A21+ａ22A２２+a2３A23)２+(a３1A2１+a３2A22+a33Ａ2３)2=    　　 　.

1８.设向量（2，-3,5）与向量(-４，6，a)线性相关，则ａ=　   　　  .

19.设A是3×4矩阵,其秩为3，若η1，η２为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 　　　  　 .

２0．设A是m×n矩阵,A的秩为ｒ(<ｎ),则齐次线性方程组Ａx=0的一个基础解系中含有解的个数为      　 ．

２１．设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α＋β与α-β的内积（α＋β，α-β)=   　  .

22.设3阶矩阵A的行列式|Ａ|=8，已知A有2个特征值-１和4,则另一特征值为　     　.

23.设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为        　.

24．设实二次型f(x1,x2,x3,x４,x5)的秩为４,正惯性指数为3，则其规范形为       .

三、计算题(本大题共7小题，每小题6分,共42分）

25.设Ａ=,B＝．求(１）ABＴ;(2)|4Ａ|.

２6.试计算行列式.

2７.设矩阵Ａ=，求矩阵B使其满足矩阵方程AＢ=Ａ＋2Ｂ.

28.给定向量组α1＝，α2=，α３＝，α4=.

试判断α4是否为α1,α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

29.设矩阵A=.

求：（1）秩(A）;

(２）Ａ的列向量组的一个最大线性无关组。

３0.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵Ｄ，使T-1AＴ=D.

３1.试用配方法化下列二次型为标准形

 　 　ｆ(x1,ｘ2，ｘ3)=,

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题,每小题5分,共10分)

32．设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E－A）-1=Ｅ+Ａ+A２.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1，ξ２是其导出组Ａｘ=0的一个基础解系．试证明

（1)η１＝η0+ξ１,η２=η0+ξ2均是Aｘ=ｂ的解；

 （２）η0，η1,η2线性无关。

答案：

一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分）

1.Dﻩﻩ   ４.D   Ｃ

6．D   ．C   ．A      ．B

1１.Aﻩﻩﻩ12.Bﻩ  ．D ４.C

二、填空题(本大题共１０空,每空2分，共２0分)

15. ６ １6.   　　１7.　4  　　１8. –10  　１9． η1＋ｃ(η２-η１）(或η2+c(η2-η1))，c为任意常数

20． ｎ-r　  　２1． –５ ２2. –2 　  ２3. １ 24. 

三、计算题(本大题共７小题,每小题6分,共42分)

25.解(１）ＡBT＝=．

(2)|4A|=４３｜A|=|A｜，而

|A|=.  　 所以｜4A|=·（-２）=-１２８

26．解　 ==

27.解  AB＝A+2B即(A-2E)Ｂ＝A，而

(Ａ-2E）-1=

所以 　Ｂ=(A－2E）-1A==

2８．解一  

　　　 所以α4＝２α１+α2＋α３,组合系数为(2,１，1）．

解二  考虑α4=x1α1+x2α２+x3α3，

即  

方程组有唯一解(２,1，1）Ｔ,组合系数为（２，1,1).

29.解　 对矩阵A施行初等行变换

A=Ｂ.

（1）秩(B）=3,所以秩(A）=秩（B)=３．

(２)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故Ａ的第１、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、２、5列或1、3、4列，或1、3、５列也是）

30.解  Ａ的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（２,-1，0）T,　　 ξ2=（2，０,１）T． 　经正交标准化,得η１＝,η2＝.

λ=-８的一个特征向量为  ξ３＝，经单位化得η３=

所求正交矩阵为 　T=.　　对角矩阵 　D=

（也可取Ｔ＝．)

31.解  f（x１,x2,ｘ3)＝(x1＋2x2-2x3）２-2x22+4x２x3-７ｘ3２＝(ｘ1+2x2-2ｘ３)２-2（x２－ｘ3）2-5x32.

设,即，因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。

经此变换即得f(ｘ１，x2,x3)的标准形 ｙ12-２y22－5ｙ32　.

四、证明题(本大题共2小题，每小题５分,共1０分）

32．证  由于（E－A)(E＋A+A2）=Ｅ-A3=E,

所以E-A可逆,且(Ｅ-A）-1= Ｅ+Ａ+A2 ．

33．证  由假设Ａη0=b，Aξ1=0，Ａξ2＝0.

(1)Aη1＝Ａ(η0+ξ1）=Aη0+Ａξ1=b，同理Aη2= b，  所以η1，η2是Ax=b的２个解。

（２)考虑ｌ0η0+l1η1+l２η2=0，　 即 　 (l0＋l1＋l2）η０+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+ｌ１＋l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以

ｌ１ξ１+l2ξ2=０.  又由假设,ξ1,ξ2线性无关，所以l1=０，l2=0,从而　　ｌ０=0 .

所以η０,η１,η２线性无关。

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