高考数学的立体几何多选题及答案

一、立体几何多选题

1．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）

A．与EF相交 ．平面DEF

C．EF与所成的角为 ．点到平面DEF的距离为

【答案】BCD

【分析】

利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．

【详解】

对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；

对于选项B，在直三棱柱中， ．

，F分别是AC，AB的中点，

， ．

又平面DEF，平面DEF，

 平面故B正确；

对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．

1，，0，．

，，．

与所成的角为，故C正确；

对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．

0，，1，，

由，即，得

取，则，0，，

设点到平面DEF的距离为d．

又2，，

，

点到平面DEF的距离为，故D正确．

故选：BCD

【点睛】

本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．

2．如图，正方体中的正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）

A．异面直线与所成的角是

B．平面

C．平面截正四面体所得截面面积为

D．正四面体的高等于正方体体对角线长的

【答案】ABD

【分析】

选项A，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C，由图得平面截正四面体所得截面面积为面积的四分之一；选项D，分别求出正方体的体对角线长和正四面体的高，然后判断数量关系即可得解.

【详解】

A：正方体中，易知，异面直线与所成的角即直线与所成的角，即，为等边三角形，，正确；

B：连接，平面，平面，即，又，，有平面，平面，所以，同理可证：，，所以平面，正确；

C：易知平面截正四面体所得截面面积为，错误；

D：易得正方体的体对角线长为，棱长为2的正四面体的高为，故正四面体的高等于正方体体对角线长的，正确.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明平面，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C、D的正误.

3．已知正方体的棱长为，点，在平面内，若，，则（ ）

A．点的轨迹是一个圆

B．点的轨迹是一个圆

C．的最小值为

D．与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ACD

【分析】

对于A、B、C、D四个选项，需要对各个选项一一验证.

选项A：由，得，分析得E的轨迹为圆；

选项B：由，而点F在上，即F的轨迹为线段，；

选项C：由E的轨迹为圆，F的轨迹为线段，可分析得；

选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.

【详解】

对于A:，即，所以，即点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上；故A正确；

对于B: 正方体中，AC⊥BD，又，且BD∩DF=D，所以，所以点F在上，即F的轨迹为线段，故B错误；

对于C:在平面内，

到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；

对于D: 

建立如图示的坐标系，则

因为点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上，可设

所以

设平面的法向量，则有

不妨令x=1，则，

设与平面所成角为α，则：

当且仅当时，有最大值，

故D正确

故选：CD

【点睛】

多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．

4．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点．（ ）

A．若，则满足条件的P点有且只有一个

B．若，则点P的轨迹是一段圆弧

C．若平面，则长的最小值为

D．若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为

【答案】ABD

【分析】

选项A，B可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面平面，知满足平面的点P在BD上，长的最大值为；结合以上条件点P与B或D重合，利用，求出，进而求出面积.

【详解】

对A选项，如下图：由，知点P在以为球心，半径为的球上，又因为P在底面ABCD内（含边界），底面截球可得一个小圆，由底面ABCD，知点P的轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧，半径为，则只有唯一一点C满足，故A正确；

对B选项，同理可得点P在以A为圆心，半径为的小圆圆弧上，在底面ABCD内（含边界）中，可得点P轨迹为四分之一圆弧.故B正确；

对C选项，移动点P可得两相交的动直线与平面平行，则点P必在过且与平面平行的平面内，由平面平面，知满足平面的点P在BD上，则长的最大值为，则C不正确；

对选项D，由以上推理可知，点P既在以A为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD上，即与B或D重合，不妨取点B，则平面截正方体外接球所得截面为的外接圆，利用.故D正确.

故选：ABD

【点睛】

（1）平面截球所得截面为圆面，且满足（其中为球半径，为小圆半径，为球心到小圆距离）；

（2）过定点A的动直线平行一平面，则这些动直线都在过A且与平行的平面内.

5．在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）

A．若，则

B．若G为的重心，则

C．若，，则

D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则

【答案】BC

【分析】

作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.

【详解】

对于A ，由已知，即，则，故A错误；

对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确；

对于C，若，，则，即，即，故C正确； 

对于D，

，又，，故D错误.

故选：BC

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

6．在长方体中，，，、、分别是、、 上的动点，下列结论正确的是（ ）

A．对于任意给定的点，存在点使得

B．对于任意给定的点，存在点使得

C．当时，

D．当时，平面

【答案】ABCD

【分析】

本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.

【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，， 

设，得到，.

，，，当时，，正确；

，，取时，，正确；

，则，解得：，此时，，正确； 

，则，，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.

故选：ABCD.

【点睛】

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.

7．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为

B．无论点在上怎么运动，都有

C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且

D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°

【答案】ABD

【分析】

构造线面角，由已知线段的等量关系求的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明即可知B的正误；由中位线的性质有可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为，结合动点P分析角度范围即可知D的正误

【详解】

直三棱柱中，，

选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示

即有面

∴直线与平面所成的角的正切值：

∵，

∴，故A正确

选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示

由题意知，为正方形，即有

而且为直三棱柱，有面，面

∴，又

∴面，面，故

同理可证：，又

∴面，又面，即有，故B正确

选项C中，点运动到中点时，即在△中、均为中位线

∴Q为中位线的交点

∴根据中位线的性质有：，故C错误

选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：

结合下图分析知：点在上运动时

当在或上时，最大为45°

当在中点上时，最小为

∴不可能是30°，故D正确

故选：ABD

【点睛】

本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小

8．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（ ）

A．三棱锥的体积为定值

B．当向运动时，二面角逐渐变小

C．在平面内的射影长为

D．当与重合时，异面直线与所成的角为

【答案】AC

【分析】

对选项分别作图，研究计算可得.

【详解】

选项A:连接,由正方体性质知是矩形，

连接交于点 

由正方体性质知平面,

所以，是点到平面的距离，即

是定值.

选项B:

连接与交于点，连接，

由正方体性质知,是中点，

 ,又,

的大小即为与所成的角，

在直角三角形中，为定值.

选项C:

如图，作 

在直角三角形中， 

选项D:

当与重合时，与重合，连接与交于点，连接,

异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角,

在三角形中，, 

由余弦定理得 

故选：AC

【点睛】

本题考查空间几何体性质问题.

求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．　

求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.

9．如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是

A．的最小值为 ．的最小值为

C．的最小值为 ．的最小值为

【答案】AD

【分析】

的最小值，即求底边上的高即可；旋转所在平面到平面，的最小值转化为求即可.

【详解】

求的最小值，即求底边上的高，易知，所以边上的高为，连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，易知，

所以.

故选：AD.

【点睛】

本题考查利用旋转求解线段最小值问题.

求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．

10．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）

A．BF⊥平面EAB

B．该二十四等边体的体积为

C．该二十四等边体外接球的表面积为8π

D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为

【答案】BCD

【分析】

用反证法判断；先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；先找到球心与半径，再计算表面积判断；先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．

【详解】

解：对于，假设对，即平面，于是，

，但六边形为正六边形，，矛盾，

所以错；

对于，补齐八个角构成棱长为2的正方体，

则该二十四等边体的体积为，

所以对；

对于，取正方形对角线交点，

即为该二十四等边体外接球的球心，

其半径为，其表面积为，所以对；

对于，因为在平面影为，

所以与平面所成角即为，

其正弦值为，所以对．

故选：．

【点睛】

本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．