矩阵函数的性质及其应用

摘要

本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其多种矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事半功倍的作用，文章末尾还给出了其在实际中的应用，为解决实际问题带来很多方便。

关键词：矩阵级数  矩阵函数  Jordan标准型  线性微分方程  

Matrix function calculus and its application

Abstract

This paper, from the polynomial and power series two aspects of the matrix function are given two definition way, is derived from the definition of some properties of matrix function and the method, the method of according to choose appropriate, rise to get twice the result with half the effect, the article also gives the end in the actual application, to solve practical problems bring many convenient

Keywords:  Matrix series  Matrix function  Jordan canonical form 

             Linear differential equation   

目录

摘要    I

关键词    I

第一章  引言    1

第二章  矩阵函数    2

矩阵函数的定义    2

矩阵函数的性质    2

第三章  矩阵函数的计算    6

第四章  矩阵函数的应用    11

矩阵函数在线性微分方程的应用    11

结束语    14

致谢语    14

参考文献    14

第一章 引言

为了讨论方便，引入一下记号：

1、表示数域F上矩阵全体的线性空间；

2、表示复矩阵集；

3、数域F上的纯量多项式；

4、表示的谱，即；

5、表示的谱半径，即

6、对于给定的矩阵，凡满足的多项式称为矩阵A的零化多项式（一般取首项系数为1）

7、其中次数最低的零化多项式称为矩阵A的最小多项式，记做

8、文献[1]给出矩阵级数的定义：

定义1：设是的矩阵序列，其中，无穷和

称为矩阵级数，记为.对正整数，记称为矩阵级数的部分和，如果矩阵序列收敛，且有极限，即，则称矩阵级数收敛，并称为矩阵级数的和，记为不收敛的矩阵级数称为发散的.

定义2：设，形如

的矩阵级数称为矩阵幂级数.

第二章 矩阵函数

矩阵函数的定义

矩阵函数的多项式表示：

设是数域F上的一个阶矩阵，简记为，是数域F上的一个次多项式，简记为，将此多项式中换成，其中换成单位矩阵，则矩阵函数可以定义为： 

矩阵函数的幂级数表示：

   设，如果一元函数能够展开为z的幂级数=， 其中R>0表示该幂级数的收敛半径.当n阶矩阵A的谱半径时，把收敛的矩阵幂级数的和称为矩阵函数，记为，即=

矩阵函数的性质

性质1：和可交换，即

证 设纯量多项式，则矩阵多项式为

，于是

==

性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（和差），即

性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即

性质4：若,则，即若，则

证 由于，故存在可逆矩阵，使得，若是纯量多项式，则,即

性质5：设，，且,函数在上有定义，在上有定义，则

证 设，的最小多项式的次数分别为和，则存在次数不超过的多项式和次数不超过的多项式，使得

由于，因此对任意正整数，，有，从而A的多项式与B的多项式相乘时可交换，即得

性质6：设，A的特征值都是正实数，是系数为非负实数的幂级数的和函数，它的收敛半径，则，且

证 因为A的特征值都是正实数，且是系数为非负实数的幂级数的和函数，因此的特征值为，其中是A的特征值，所以

若不恒为0，则，从而；

若恒为0，则，从而。

性质7：设，函数在上有定义，则

证 由于与相似，因此，与有相同的谱，也有相同的最小多项式，由在上有定义，则在上有定义，且在与的谱上的值相同，因此可取相同的多项式，使得.所以

性质8：设A是对称矩阵，函数在上有定义，则是对称矩阵

性质9：设A是实对称矩阵，实函数在上有定义，且对A的任一特征值，有，则是正定矩阵。

证 由为实函数，A是实对称矩阵，根据性质8知，是实对称矩阵，又因为的特征值为，其中是A的特征值，所以是正定矩阵。

性质10：设A是反对称矩阵，函数在上有定义，且为奇函数，则是反对称矩阵。

证 由性质7得,又由于为奇函数，，所以

即是反对称矩阵。

下面给出一些常用的矩阵函数的基本性质：

矩阵指数函数的基本性质：

(1)若，则;

(2)；

(3) 

证 （1）因为矩阵加法满足交换律，所以只需证明就行了.根据矩阵指数函数的表达式可得

(2)在（1）中令B=-A,则得,所以

(3)设A的特征值为，则的特征值为，因此

矩阵三角函数的基本性质：

(1)                                                

(2)， 

(3) 

(4)若，则

证(1)因为，将分为偶数和奇数，则有

(2)同(1)证可得                                    

两式相加得

两式相减得

(3)因为，所以

，又因为，所以

(4)若，得

同理可证  

第三章 矩阵函数的计算

1、A为对角矩阵和分块对角矩阵的矩阵函数的求法

(1)矩阵函数为矩阵幂函数

若A为对角矩阵，即

则由矩阵乘法，有

若A为分块对角矩阵，即，其中为子块。则

(2矩阵函数为矩阵多项式

由于是若干个矩阵幂函数的线性组合，所以仍可以按照（1）中的方法来计算。

2、一般矩阵A的矩阵函数的求法

方法1：Jordan标准形法

设矩阵的Jordan标准形为，即,则必存在可逆矩阵，使

从而由矩阵函数的性质4可知

所以求可以通过以下3个步骤来计算：

第一步，经过相似变换将化成的Jordan标准形，并求相似的变换矩阵，使得；

第二步，计算

，

其中

第三步，利用求出

此方法的关键在于怎么求Jordan标准形J，本文介绍用初等因子法求Jordan标准形J:

文献[10]给出了初等因子及不变因子的定义定理，摘录如下：

定义3 标准形的主对角线上非零元素的不变因子。

定义4 把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A的初等因子。

求Jordan标准形的具体步骤如下：

1、首先求给定矩阵A的特征矩阵；

2、再次求矩阵A的初等因子组，其中可能有相同的，中也可能有相同的，但总有；

3、每个初等因子对应着一个Jordan块，其阶数为，对角线元素为，即

4、这些Jordan块的直和构成一个Jordan矩阵J，即

方法2：待定系数法

根据矩阵函数的定义，只需求出多项式，使

令其中m为A的最小多项式的次数，由上面的条件列出方程组解出，从而求出，最后求出

例1、设矩阵,求

解 由于特征多项式，易算出不是A的零化多项式，故A的最小多项式为

于是设为2次多项式，即

由于，且是单根，是二重根，故有

即

解得

从而得

例2 设，求.

解 令.求得的Jordan标准形为：

.

再求相似的变换矩阵.

设即

应满足即是两个线性无关的解.解，同解方程组，令分别取,得

特征向量，于是有则

，计算出.

于是

.

重要结论：矩阵函数与Jordan标准形中的Jordan块的排列次序无关，与变换矩阵P的选取无关，矩阵函数的计算总可以总可以转化为矩阵多项式的计算。

第四章 矩阵函数的应用

矩阵函数在线性微分方程中的应用

考虑一阶线性微分方程组

                              ①

其中为自变量， ， 都是的已知函数,是的未知函数.

若记，则方程组①可改写为如下的微分方程

如设微分方程组①的初始条件为

，                    　       　　　 

可以表示成　　      　　　　　　　　　        　  

则成为一般的初值问题.

定理1[5]  设是阶常数矩阵，则一阶线性常系数微分方程组的

                                                     ②

有且仅有唯一解.                                          ③

证 将处展开成幂级数

从而有                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

因为

于是

这说明初值问题②的解必有  

的形式.另一方面，由于

.

因此，初值问题⑨的唯一解为③.

对于高阶常系数其次微分方程的定解问题可以转化为线性微分方程组来求解，这里不再做深入研究.

例3 求常系数线性其次微分方程组

的解，其中， 

解 由定理1知，方程组的解为，下面求.先计算A的Jordan标准形及变换矩阵：

首先求的初等因子：

因此A的初等因子是，，则A的约旦标准形是

因为特征多项式为

所以特征值是1（三重），其相应的特征向量为：

所以变换矩阵为，可求得

从而， 

结束语

矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用.，它是研究数值方法和其他数学分支以及工程问题的重要工具，比如研究刚体的旋转表示时，就需要用到矩阵指数函数；在图像处理、模式识别或移动通信等领域，常需要利用矩阵函数来分析，使得其误差尽可能小.在计算的过程中，尽可能的使用简便的方法，达到事半功倍的效果。

致谢语

从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，一直到论文成稿，我特向我的指导老师表示诚挚的谢意！正是指导老师的耐心帮助和各位老师认真负责的授课，使我能够掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现，我的论文才能够得以顺利完成，我真的非常感谢您们！

                                参考文献

[1]苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论.北京：科学出版社，2006.

[2]Horn R A,Johnson C R.矩阵分析.杨奇译.北京：机械工业出版社，2005

[3]周杰.矩阵分析及应用.成都：四川大学出版社，2008

[4]张凯院，徐仲.矩阵论.西安：西北工业大学出版社.2007

[5]张跃辉.矩阵理论与应用. 北京：科学出版社.2011

[6]刘慧，袁文燕，姜东青.矩阵论及其应用.北京：化学工业出版社.2003

[7]史荣昌.矩阵分析引论.北京：北京理工大学出版社.2000

[8]张贤达.矩阵分析与应用.北京：清华大学出版社.2004

[9]徐仲，张凯院，陆全，冷国伟.矩阵论简明教程. 北京：科学出版社.2001

[10]王萼芳，石生明，高等代数（第三版）.北京：高等教育出版社.2003

[11]魏洪增.矩阵理论与方法.北京：电子工业出版社.2006