第09章+二重积分(习题)

习题9-1

1、设,

其中;

又,

其中,

试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.

解：由于二重积分表示的立体关于坐标面及对称,且位于第一卦限部分与一致,因此.

2、利用二重积分的几何意义说明:

(1)当积分区域关于轴对称,为的奇函数,即时,有;

(2)当积分区域关于轴对称,为的偶函数,即时,有,其中为在的部分.

并由此计算下列积分的值,其中.

(I);  (II);  (III).

解：令, ,其中为在的部分,

(1)由于关于轴对称,为的奇函数,那么表示的立体关于坐标面对称,且在的部分的体积为,在的部分的体积为,于是;

(2)由于关于轴对称,为的偶函数,那么表示的立体关于坐标面对称,且在的部分的体积为,在的部分的体积也为,于是.

(I)由于关于轴对称,且为的奇函数,

于是;

(II)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是;

(III)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是.

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:

(1)与,其中是由轴、轴与直线所围成; 

解：由于在内, ,有,所以

.

(2)与,

其中. 

解：由于在内, ,有, ,所以

.

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：

(1),

其中；

解：由于的面积为,且在内, ,那么

.

(2),

其中；

解：由于的面积为,且在内,

,那么

.

(3),

其中；

解：由于的面积为,且在内,

,那么

.

习题9-2

1、计算下列二重积分：

(1),其中是矩形区域:；

解：

.

(2),其中；

解：.

.

(3),其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；

解：.

(4),其中是顶点分别为和的三角形闭区域.

解：.

2、画出积分区域,并计算下列二重积分：

(1),其中是由两条抛物线所围成的闭区域；

解：.

(2),其中是由直线及所围成的闭区域；

解：.

(3),其中是由及所围成的闭区域；

解：.

(4),其中是由所确定的闭区域.

解： 

.

  a:=0..1;

b:=x-1..-x+1;

f:=exp(x+y);

int(f,y=b);

int(int(f,y=b),x=a);

simplify(");

3、如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积,即,积分区域,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即

.

证明：

.

4、化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域是：

(1)由曲线、直线及轴所围成的闭区域；

图形>

plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1);

解：.

(2)由轴及右半圆所围成的闭区域；

图形>

plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);

解：.

(3)由抛物线与直线所围成的闭区域.

图形> plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);

解：.

5、改换下列二次积分的积分顺序：

(1)；

解：.

(2)；

解：.

(3)；

解：.

(4)；

解：.

(5)；

图形> plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1);

解：.

(6).

图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1);

解： 

.

6、设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,它的面密度,求该改薄片的质量. 

图形> plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);

解： 

.

7、求由平面及所围成的立体的体积. 

图形> with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):

B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):

G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):

display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED ,

scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);

解：.

8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长,宽的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为轴(),往公路延伸方向为轴(),且山坡高度为,试计算所需挖掉的土方量. 

图形> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);

解：.

9、画出积分区域,把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是：

(1)；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);

解：.

(2)；

图形> plot([1+(1-x^2)^(1/2), 1-(1-x^2)^(1/2)], x=-1..1,color=1);

解： ,于是

.

(3),其中；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);

解：.

(4). 

图形> plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);

解： ,

,于是

.

10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

(1)；

图形> plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);

解： ,

,于是

.

(2)；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);

解： ,于是

.

11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：

(1)；

图形> plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);

解： ,

于是.

(2)；

图形> plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);

解： ,于是 

.

(3).

图形> plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1);

解： ,于是 

.

12、利用极坐标计算下列各题：

(1),其中为圆域()；

图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解： ,于是

.

(2),其中为圆及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；

图形> plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);

解：.

(3),其中为圆周,及直线所围成的在第一象限内的闭区域.

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2), (4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],

x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);

解：.

13、选择适当的坐标计算下列各题：

(1),其中是直线及曲线所围成的闭区域；

图形> plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);

解：.

(2),其中是圆环形区域；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);

解：.

(3),其中是由直线()所围成的闭区域；

图形> plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);

解：.

(4),其中为圆域.

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);

解：.

14、计算以面上的圆周围成的闭区域为底,而以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 

图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解： ,于是

.

15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为处的水深为米,试求该水池的蓄水量. 

图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解： (米3).

16、讨论并计算下列广义二重积分：

(1),其中；

解：.

即当时,广义二重积分收敛,且

.

(2),其中；

解：.

即当时,广义二重积分收敛,且.