高中数学北师大版必修三、必修二---1、必修二---2期末综合检测试题

1、选择题

1.在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ B ）

A．第一象限      B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限

2. 设则“且”是“”的   （ A）

         A．充分而不必要条件　　　　      　　B．必要而不充分条件

      C．充分必要条件　　　　　　　    　 D．即不充分也不必要条件

3. 已知命题，，则     （A )

Ａ．，          Ｂ．， 

     Ｃ．，            D．， 

4．函数的图象在点处的切线的倾斜角为   (B    )  

(A)     (B)     (C)     (D)

5.. 执行右面的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的S是 （ B   ）

A.-385      

B. B. -399    

C. -45.   

 D. -55    

6．求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是      (   B  )        （    ）

    A．          B．  

    C．          D． 

    A.4                B.3.15              C.4.5              D.3

8．在中，有如下命题，其中正确的是        （ C   ）

    ①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形。    （ C   ）

    A．①②    B．①④    C．②③    D．②③④

9.已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）

   A．             B．              C．              D． 

11．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图，下列关于函数的命题：

   ①函数是周期函数；

②函数在上是减函数；

③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；

④当时，函数有4个零点.

其中真命题的个数是(  D  )

（A）4个   （B）3个   （C）2个   （D）1个

11.如下图，已知，则的图像可以为(  B  )

12.设双曲线的半焦距为c，直线l过两点，若原点O到l的距离为则双曲线的离心率为( A     )

A.或2        B.2        C.或        D. 

2、填空题

13.椭圆的面积是_________

14.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为______.

15.在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_________． 

答案：。

16．抛物线与直线交于两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则的值等于  7           

三、解答题

17.（本题满分10分）

某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

    (1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？

    (2)据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？

(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

17.解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄有关……3分

(2)年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）

(3)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人）……8分，

年龄大于50岁的4人……8分，记这5人分别为A，B1，B2，B3，B4。

    从这5人中任取2人，共有10种不同取法…9分，完全正确列举…10分，设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：完全正确列举…11分，故所求概率为……13分

18.（本题满分12分）

已知数列{ an}满足： 

(1)求的值；

(2)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论; 

18.解：（1）分别令n=1,2,3,4得

       （2）猜想：，用数学归纳法证明如下：

        n=1时，成立；

        假设n=k时，有成立，则n=k+1时，由得：，因此有，也即n=k+1时猜想成立。

由可知对任意的自然数n猜想都成立。

19．（本题满分12分）

如图，四边形为正方形，，∥，．

（I）证明：平面；

（II）求异面直线与所成角的余弦值;

（III）求直线与平面所成角的正弦值． 

19．(I)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴

∵，∥

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴平面                   ……………………………………5分

（II）以为原点，建立如]图所示的空间直角坐标系，设，

则，故

，，，，

∴直线的方向向量为，直线的方向向量为

设直线与所成的角为，则

                 ……………………………………10分

（III）直线的方向向量为，，

设平面的法向量为，则

，故，，

设直线与平面所成的角为，则

                 ……………………………………14分

20．(本小题满分12分)

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求的值及的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

 【答案】（I）   

 （II）当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.

【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一。

（1））由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）, 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=80，进而得到 C(x), 建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．

（I）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为，

    再由

    而建造费用为

    最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

   （II）

    解得（舍去）.

    当时，    当

故x=5是的最小值点，对应的最小值为

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.               

21.(本小题满分12分)

已知函数R .

（Ⅰ）当时，求的单调区间;

（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值.

21.解：（Ⅰ）f (x)的定义域为｛x |｝……………1分.

……3分

  令，即，

  ∴的增区间为（0，1），     ……4分

令，即，

 ∴的减区间为         …………5分

   （Ⅱ）①当时，在上恒成立， 

在恒为增函数. …… 6分

，得     …… 7分  

②当时，令，得.

当时，   在上为减函数；

当时，    在上为增函数；

，得（舍）…… 10分

③当时，在上恒成立，

此时在恒为减函数.

，得    ……11分

综上可知           … 12分

22.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5．斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；

（Ⅱ）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．

22.解：（Ⅰ）依题意设抛物线C：， 

因为点P到焦点F的距离为5，

所以点P到准线的距离为5．          

因为P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得，．

所以抛物线的标准方程为．    ……4分

即，所以，点P(±4，4)，

所以，．      

所以 点(-4，4)处抛物线切线方程为，即；

点(4，4)处抛物线切线方程为，即．

点处抛物线切线方程为，或．  ……7分

（Ⅱ）设直线的方程为，，，

联立，消y得，．  

所以，，

所以，，       

即的中点为．

所以的垂直平分线方程为．

因为 四边形AMBN为菱形，

所以，，关于对称，      

所以点坐标为，且在抛物线上，    

所以，即，

所以直线的方程为．       ………14分