第二讲 小升初专项训练 几何篇

一、小升初考试热点及命题方向

几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。

从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。

二、2016年考点预测

2016年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理。

三、典型例题解析

1  等积变换在三角形中的运用

首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高

因此我们有

【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比

【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比

这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。

【例1】（★★）如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？

【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。

【拓展】S△AOD×S△BOC=S△COD×S△AOB，也适用于任意四边形。

【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

【例2】（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？

【总结】份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！

2

燕尾定理在三角形中的运用                                     

下面我们再介绍一个非常有用的结论:

【燕尾定理】:

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么S△ABO:S△ACO=BD:DC                        

【证明】：根据结论2  BD/DC=S△ABD/S△ADC=S△BOD/S△COD

因此BD/DC=( S△ABD- S△BOD)/( S△ADC- S△COD)

=S△ABO/S△ACO

证毕

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为△ABO和△ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。

【例3】（★★★）在△ABC中=2:1, =1:3，求=?

【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。

本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC。

【例4】（★★★）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？                                     

定理需牢记

  做题有信心！

3平行线定理在三角形中的运用（热点★★★）

下面我们再来看一个重要定理：

平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）

同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．体现在右图中，  就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC的高：三角形ADE的高．这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．

在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图），往往不易看出相似关系．如（右下图）AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．

【例5】（★★）如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm，△CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【例6】（★★★）如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。

【例7】（★★★）如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是________平方厘米。

4利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系

【例8】（★★）如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

【例9】（★★）如下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

5  差不变原理的运用

【例10】（★★★）左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。

【例11】（★★★）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？ 

 [拓  展]：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?

6   其他常考题型

【例12】（★★）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？

【例13】用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和。

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）等积变换在三角形中的运用。参见例1，2

2）燕尾定理在三角形中的运用。 参见例3，4

3）平行线定理在三角形中的运用。参见例5，6，7

4）利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例8，9

5）差不变原理的运用。参见例10，11

6）其他常考题型。参见例12，13

作业题（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1，2—类型1；题3，4—类型5；题5，6—类型6； 

1、（★★）如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。

2、（★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

3、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？

4、（★★★）如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且的面积比的面积大6平方厘米。

5、（★★）长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

7、（★★）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。