2003年高考数学试题(全国卷)评析

福州教育学院    傅晋玖                                                                  

一、2008年数学高考试卷评析

2008年福建省自主命题数学试卷的命制秉承了几年来我省自主命题的风格特点，符合08年教育部《考试大纲》和我省《考试说明》的规定及要求，命题从我省数学教学实际出发，坚持有利于新课程的实施，有利于人材的选拔；在考查考生进入高等学校继续学习能力的同时。注重考查考生的数学基础知识基本技能和数学思想方法、数学本质的理解水平的命题原则，命题思路清晰，试卷结构稳定，考点设置合理，体现了在知识网络的交汇点、思想方法的交织线和能力层次的交叉区内的命题取向，多视点、多角度、多层次地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜力。试卷得到了学生、教师、社会的充分肯定，实测结果理想，实现了预期地目标，可谓是实验版的满意地合谐之作、漂亮的收官之作，对新高考命题依然有着积极地借鉴意义。

全卷结构、题型包括难度都基本稳定，没有偏题、怪题。多数试题都是以学生较为熟悉的面孔出现，主干内容、重点内容、重点知识及应用进行了突出地、重点地考查，知识和能力综合自然，考查全面深刻。整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，低起点、入口宽、逐步深入的格局，坚持从基础知识、基本方法、重点内容出发编制试题，体现化归思想和模式识别的解题策略。命题在深化能力立意，积极改革创新上均作了谨慎和适度的探索，兼顾了数学基础，思想方法、思维、应用和潜能多方面的考查，在保持稳定、强调考与教的匹配的同时，适当融入课程改革的理念，拓宽了题材，选材多样化，宽角度，多视点地考查了数学素养，多层次地考查了思维能力，使考查具有一定的难度和深度，有利于优秀考生顺利发挥水平，更能有效区分不同能力层次的考生群体，形成了福建省命题的独特风格。

1．试题题型稳定，突出对主干知识的考查，重视对新增内容的考查, 更显成熟

2008年的试卷保持了2007年试卷的题型，题量及分值，保持了各主干知识及与新课程接轨内容的试题的大致比例，保持了考查风格，对基础知识的考查平谈中见深刻，不刻意追求知识点的覆盖面，与新课程接轨的内容不刻意追求形式上的突破，而是强调实质上的靠拢，在试题细节设计上下足功夫。无论是试卷的布局和题型的安排，还是在相对难度的控制和对继承和创新的把握上，都显得更加成熟。

2008年考查主要内容：

2．充分考虑文、理科考生的差异，加大了区分力度，更符学情

 文 、理科考生在数学学习内容和的数学教学要求均不相同，数学思维方面的水平有差异，新课程中的这一特点更显突出，2008年的试题较好地关注了这种特点，在文、理考查目的大致相同的情况下，在内容选取、考查方式、综合力度、能力层次等方面都有较好地恰当地区别。如文第22题是在理第21题的题干下，采用降低综合度，大题设多问的方式来进行区分，第1问起点较低，易于动手，各问之间层次分明，难度逐渐加大，有较好的区分度，能很好发挥高考的选拔功能。

3．加大对基本数学思想方法的考查,，更有导向

数学《考试大纲》及《课标》明确把数学思想方法归入“三基”的范畴，并确定了一些重要的基本数学思想方法，2008年的试题突出了这方面的考查，注重了通性通法的考查，淡化了解题技巧，试卷考查的主要数学思想有：函数与方程的思想；数形结合的思想；转化与化归的思想；分类与整合的思想；特殊与一般的思想；或然与必然的思想；有限与无限的思想。同时，试卷以朴素的数学知识为载体全面考查了最基本的数学思想，体现了高考命题重实质、重内涵和思想价值，重学科的整体意义，注重通性通法、淡化特殊技巧的理念。对中学数学教学有较好的导向作用。加大对基本数学思想方法的考查是试卷的特点之一。

2008年考查的基本数学思想

 选拔素质好，基础扎实，能力强，发展潜力大的考生进入高等学府深造，以能力立意来实现其是多年来高考命题的指导思想，2008年，强化了这一思想。许多试题都处在知识网络的交汇点，解答这类试题，考生需要综合思考，灵活运用所学各类知识和方法进行推算，同时需要扎实地基础、敏捷的思维、逻辑推理、代数推理的支撑。从能力立意角度讲，2008年的试题还突出了对考生数学思维能力的考查，许多试题若能先想清楚找到合适的解题思路和方向后再动手，则解答会较容易，否则陷入繁琐的运算之中。在强化通性通法的同时，试题设计力求平常中不失灵活脱俗、精巧别致、涵盖丰富，体现了数学理性思维的特点，以整体地、隐性地、平和的方式强化了试卷的选拔功能。

5．适度地数学应用意识创新意识的考查，更为公平

 年福建试卷在文第5题、第9题、第18题，理第5题、第7题、第20题各设计了三道应题；文第16题，理第16题各设计了一道创新题，是定义型的信息迁移题，其本质都是在考生原有认知水平的基础上，通过即时学习便可即时理解和掌握的新知识，考查出考生在数学概念迁移到不同情景下的探究能力，从而检测考生进一步学习的潜能。保持了近几年背景公平、位置适当、难易适中的特点，且问题的表述更朴实，模式识别更方便、文理差异更突显，应用问题考查在模式识别后落脚到数学方法的运用上，创新问题落脚到数学地严谨地阅读理解和学习能力的迁移上，注重数学思维能力和数学素养的提高，妨能从根本上增强数学应用意识创新意识并最终达到灵活快捷地解答此类问题。

二、2008年数学科理科解答题情况分析

理17题分两小题设计，第1小题考查平面向量数量积、特殊角的三角函数值、和差角公式及asinx+bcosx的变形方法；第2小题主要考查倍角公式、有区间的二次函数的最值问题的解法及基本的计算能力。本题虽为高考试题的基础题，但考点丰富；它在向量、三角、二次式等知识交汇点处设计试题，题型方法常规，它的功能不在于检测考生的数学能力水平，而侧重检测考生对数学基础知识的掌握程度. 但作为解答题的第一题，似综合度稍大。

答题中的主要错误：审题不清；计算出错；知识遗忘；方法不熟和书写错误。

理18题为立几解答题，是六大题中的第二题，较往年位置有所前移，是近几年来立几题比较好的考题，题型是学生熟悉的不规则锥体。无论是用传统方法的立几性质来解，还是用向量建立空间直角坐标系也好，入手都较容易，而且计算量也不大，数值较简单。主要考查直线与平面的位置关系，异面直线所成角，点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。此题共有三个问题，第一问要求证明线面垂直，考查面面垂直性质定理的掌握和应用。第二问求异面直线所成的角，只要作平移或用向量夹角公式均易解决。第三问虽具有一定探索性的问题，但此类题相信各校在做复习训练题时也做过不少，因此大部分学生都明白解题规范和步骤，但具有一定的难度。

答题中的主要错误：面面垂直的性质定理不熟，条件不能够写完整，写齐全。正所谓越简单越易丢分；用向量来证明第一小问题出现循环论证，先以O为原点，OC为X轴，OD为Y轴，OP为Z轴，建立直角坐标系，利用来　说明；要“先证后算”，没有去证明∠PBO即为所求角；向量夹角公式的错误，出现；建系问题，有些学生建立的不是右手系，或乱建，随意取共点的三条边就说明是X轴，Y轴，Z轴，如，以A为原点，AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴，取不共点但会垂直的三条直线，如以AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴；线线成角应是锐角，计算出，不会取夹角（不少写成或　）；计算不过关，由tan∠PBO=得出∠PBO= ； 答非所问，第三问是否存在，没有对Q点的存在性做出分析判断后的肯定回答，或只以点坐标，点的位置来代替都不够准确。

理19题 两小问，第一问较为简单，入题容易。通过求导，点代入、恒等、变形化归等差数列即可解决。第二问上了一个台阶，利用导数讨论三次函数的极值问题，这是学生较为熟悉的问题，但是在分类的问题上，对于学生而言有一定的区分度。19题第二问实质是二次函数动轴定区间问题的变式引申，出题角度新颖，而且主要考查思维能力，计算量不大，学生需由对二次函数的理解上进行正向迁移，“跳一跳就能摘到桃子”，放在19题位置较为恰当，遗憾的是⑴⑵问关联度不够，有拼凑之感。

答题中的主要错误：求导出错，计算出错、抄错。或居多，等差数列通项公式，求和公式不会用，上下行抄错，解方程出错；部分考生不理解点在曲线上，那么点坐标就要满足方程，故不懂得代入中得到方程；面对没思路，不懂化简整理得到等差数列，故采用了不完全归纳法，但又不懂用数学归纳法进行严格论证，数学是讲究逻辑性、严密性的一门学科，凡是猜测得到的结论都要加以严格证明；用导数求极值，很大一部分学生对基本概念、知识理解不透。在可导情况下，极值是一定在驻点中找，因而也称可疑点。极值点一定在开区间中找。

故据此两点可首先确定因此余下情况继续讨论，做到不重不漏，而很多考生这一点把握不好，在分类问题上失分严重。如分成等，等号放错位置，或者都没有等号，或者全是“”“”重复讨论，还有的是解出后无思路，或是单调性判断完之后无思路；在题意理解上有欠缺：①部分考生，认为求极值，按语文方式理解，只需求出，极值，，极小值即可，不再讨论其余情况，也不说是极大极小值。②极值与最值概念不清，混淆，符号理解不透，求极值变为求最值，或求；跳步，无单调性判断，直接写答案；书写表达不够合理，在第二问中若先判断单调性，再分类得分率更高，但许多学生先分类再判断单调性，分类一旦出错损失更大。

理20题为简单送分题，入题容易，得分高，大部分考生都能得手。主要考察概率的基本知识（事件，互斥事件，对立事件）的概率计算及离散型随机交量ξ的数学期望与分类思想。考查运用数学知识分析问题，解决问题的能力，所考察的概率与新教材的“条件概率”相呼应，题型新颖，体现了新老教材的衔接，是一道非常好的概率应用题。

答题中的主要错误：计算笔误 如第一问概率 P=2/3*1/2=1/6 或2/9,第二问三个概率公式列对而出现计算错误（这样的考生多）都属于低级错误，失分实不该；考虑问题不周全，概率计算遗漏（分类不完整）如出现P（ξ=2）=P（A1B1）遗失P（1 2）；答卷马虎一是答案不简（如第二问答案是3/8，但答案为24/9，96/36，144/54等等非常多），二是字迹潦草，结构混乱，三是字母没有交代所代表的实际意义，或字母下标写错。

理21题为压轴题，问题设置切合学生实际，入题容易，出口有点高，第一问为送分题，可以从多方面入手。第二问是在运动变化过程中寻求不变的问题，考生在思路正确的情况下，认真计算就能得到一定的分数。本题有一定的运算量，这是事实，但它并不是纯粹考查考生的运算能力，有一定思维深度，如在得到a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立（（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立）时，求a的取值范围，这要求学生必须有一定的思维能力才能得到关于的不等式，从而使问题得到解决。

答题中的主要错误：思维不严密；逻辑错误；概念理解错误；计算错误；公式使用错误；答卷马虎；发挥失常。

理22题设计了三个小题，第(Ⅰ)小题求函数的单调区间，属基础题；第（Ⅱ）的(i)小题以(Ⅰ)为依托，通过(Ⅰ)中函数在上的最小值设计数列，转入对使不等式恒成立求参数最值的研究，解法较多，具有一定的难度；第（Ⅱ）(ii)小题则是在（Ⅱ）(i)的基础上，设计数列不等式的证明问题，其解决既可以利用（Ⅱ）(i)的结论，也可以起炉灶，但两者难度差异较大，但不管用哪种方法，都需要放缩法，难度较大。整个题目考查点多，可相互联系也可成题，解法灵活，得分点分散，考查力度大,有区分度，设计巧妙。

答题中的主要错误：概念理解错误：如未先求定义域，直接求异解不等式，得出减区间为（-∞，-1）和（O，+∞）增区间为（-1,0）；)解＞0，结论却为减区间； (Ⅱ)(i)中的极限值当成极小值，从而漏了，使得结果错为；单增区间（-1, 0）写成[-1,0]  ；令直接求导；计算错误：错，漏了负号，导致单调区间错，求错，导致错，(Ⅱ)就无法再解，非常遗憾；令解得或；＜直接去根号得；＜-去分母变为  ；移项错误，变成＞（-）.公式使用错误：导数求错,如或.笔误：单增区间（-1,0）写成（0,-1）；解完不等式得到正确的单调区间，下结论时写反了；漏写增、减两字，写成单调递区间；求导少写一撇，成了；逻辑混乱，如：，有考生遇到这样两个不等式就混乱了，心里知道要求的取值范围，为了便于把时的值当成最小值，就误判断为增函数。或直接求的最大值，把的取值定为；另外发现有用归纳法时，归法证明的结论本身是错的，套用归纳法步骤走江湖也是常见的错误。（文科答题情况类似）

三、对教学的启示

1．以纲为纲，明晰考试要求

“纲”，主要指《课程标准》、《考试大纲》和《考试说明》，《考试大纲》和《考试说明》就是对考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解读。《课程标准》则是编写教科书、考纲和进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。研究《课程标准》、《考试大纲》和《考试说明》，既要关心《考试说明》中调整的内容，又要重视近两年数学大纲版、课标版不同版本《考试说明》的比较。还要结合高考数学评价报告，对《考试说明》进行横向和纵向的分析，发现命题的变化规律、热点和趋向。

2．以本为本，把握通性通法

 近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调注意通性通法，淡化特殊技巧；重视和突出三基的考查；重视具有普遍意义的方法和相关的知识的考查重点；突出对主干知识、数学思想方法的考查；适当的进行数学应用意识创新意识的考查；强化能力立意；体现考试中心“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想是必然之举。要注意回归课本。只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，．许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。

3．基础主干，不变的旋律

2007年高考数学试卷都能全面考查基础知识，试卷的起点题以及每种题型的起点题都属基础知识，试卷的基础题占相当大的比例，而且与教材的结合深度逐渐加强，体现了“考查基础知识”的命题指导思想，同时又保持了数学高考的稳定性和连续性，很好地引导了中学数学教学良性发展，试卷不刻意追求知识的覆盖面，但对《考试大纲》所确定的内容，每章都有试题涉及，内容较少的知识，相对次要的知识，如复数、轨迹方程，通过选择题、填空题的形式进行考查。

在全面、重点考查基础知识的前提下，支撑学科知识体系的主干内容占有较大的比例，构成了试题的主体，主干内容多以解答题的形式进行精心设计，重点集中在函数、导数、三角、向量、概率、统计、数列、直线与平面、直线与圆锥曲线等内容上。

4．注重联系，加强综合，发展的态势

数学知识之间本就具有紧密联系，既包括各部分知识内部的相互联系，也包括各部分知识之间的相互联系，要善于从本质与抓住知识之间的紧密联系，在这一指导思想下，在知识网络的交汇处设计试题已成为命题方向，试题综合程度、整合力度不断加大已是必然态势，表现为三个层次，其一是中学传统的主体内容的渗透与联系，如函数与不等式的结合，数列与不等式的结合，数列、函数、不等式的结合；其二是传统内容与新增内容的关联与融合，如向量与三角、向量与函数、向量与数列、向量与立体几何、向量与解析几何的结合，导数与函数的结合，导数、函数与不等式的结合，导数、函数与数学归纳法的结合；其三是概率统计、线性规划改变了传统应用题的命题思路，也扩大了原有命题空间。在交汇点设计的试题，注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识的考查点，又能从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，能对基础知识考查达到必要深度。

5．注重探究应用，关注的方向

探究性、应用性是创新型试题的重要组成部分，探究性、应用性试题具有强大的考查功能，能够弥补传统试题的不足，填补传统试题的考查盲区。在教学中，一定要精心设计好数学探究的教学和数学建模的教学，同时也要把数学探究和数学建模的理念和思想渗透和融入常规课堂教学中。

同时，也要关注新信息迁移题，在教学中既要适当拓宽学生的数学知识视野，也要加强自主获取知识能力的训练和培养，常规考点经过适当包装要求学生不为表象所惑，善于抓住问题本质，常规考点的组合联袂、知识虽是新的但能力却不超纲的情景问题，在教学中除了强调知识的获取，也要注意能力的培养。

四、2009年数学高考复习指要

2009年高考是课标背景下的高考元年，与往年的高考相比有诸多变数，但部颂的《课标》、《新课程考试大纲》和省颁的《考试说明》会为我们提供教学、复习、备考的内容定位、题型题量定位、难度定位、结构定位、方法定位和能力要求定位。同时，2007年、2008年先行进行的新课程高考省份的经验和高考试卷也可为我们提供诸多借鉴。故认真学习，仔细分析上述相关内容，探索符合我市教学实际的教学复习方略并加以落实妨能达成预期目的。

1．夯实三基  避免缺失

基础知识、基本技能和基本数学思想方法一直是高考命题的重点，“三基”是一切的源头，而运算能力是重中之重，数学思想方法对简化运算、优化解题过程和提高解题速度起到把握方向和作用。因此，在复习备考中要真正回归基础，并在回归中强化。

第一轮特别要注意全面复习，知识不能有欠缺，对书上内容、局部知识要按照一定方法和观点进行整理，基本技能和思想方法渗透其中，这样才能形成认知体系，也才会使学生认知结构具有开放性，解题时提取自由。

2．构建网络  突出主干

数学教学的本质，是在数学知识的教学中，在学生主动参与、积极构建的基础之上，把大量的数学概念、定理、公式等知识，进行加工，形成层次分明的数学知识网络，居高临下地解决问题。因此，在平时教学和高三复习中要把整个高中知识按章节间逻辑关系，帮助学生梳理知识，形成纵横知识网络，使学生拿到问题特别是解答题一看便知道要用什么知识，怎么解决它。

高中数学主干知识有：函数、数列、三角函数、立体几何、概率、导数及解析几何等，高考中试题以主干知识为主，且常考常新，因此，平时备考复习应以主干知识为主进行高效率的教学，特别要注意它们之间的交叉融合。

3．培养思想  提升能力

数学思想的形成是需要长时间积累和训练，其渗透在掌握知识和解题的过程中，数学思想，数学思维方法和解题基本方法提升了学生能力的关键，湖北卷在探究，综合和思维，转化与化归，函数与方程、数形结合、数学建模等能力方面均进行全面考查。

4．归纳通法  注重综合

以通性通法的考查为主，体现了基础性，让学生在思维的最近发展区实现知识的迁移，同时对学生的综合素质的考查力度也有所加大，因此，在复习备考中一方面不要追求“难、偏、怪”题，另一方面要有意识地对知识进行适度整合，相应拓展，提升学生解决问题的综合应用能力。