椭圆的离心率练习

A．       B．    C．     D．

2．中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，那么椭圆的方程是〔　　〕

A．            B．

C．            D．

3．椭圆的焦点为,，且离心率，假设点在椭圆上，，那么的值为〔　　〕

A．          B．    C．     D．

4．，是椭圆的左右两个焦点，假设椭圆上存在点使得，那么该椭圆的离心率的取值围是〔　　〕

A．     B．       C．      D．

5．椭圆C：的左焦点为，直线与椭圆C交于两点，假设，那么C的离心率取值围为〔　　〕

A．       B．    C．     D．

6．椭圆C：的左焦点为F，假设点F关于直线的对称点P在椭圆C上，那么椭圆C的离心率为〔　　〕

A．        B．         C．        D．

7．以为中心，，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，那么该椭圆的离心率为〔　　〕

A．         B．      C．      D．

8．，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，假设的最小值为，那么椭圆的离心率是〔　　〕

A．        B．       C．      D．

9．椭圆的左右顶点分别为，点M为椭圆上不同于的一点，假设直线与直线的斜率之积为，那么椭圆的离心率为〔　　〕

A．       B．      C．       D．

10．设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点P使得，那么该椭圆的离心率为〔　　〕

A．        B．        C．       D．

参与试题解析

1．椭圆的离心率等于〔　　〕

A．       B．    C．     D．

【分析】椭圆的焦点在轴上，，，椭圆的离心率，即可求得答案．

【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在轴上，，，

∴椭圆的离心率，

椭圆的离心率，

应选B．

【点评】此题考察椭圆的标准方程及简单几何性质，考察椭圆的离心率公式的应用，属于根底题．

2．中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，那么椭圆的方程是〔　　〕

A．            B．

C．            D．

【分析】根据焦距求得c，进而利用离心率求得a，那么b可求得，进而求得椭圆的方程．

【解答】解：依题意，

所以，所求椭圆方程为．

应选C．

【点评】此题主要考察了椭圆的简单性质．考察了椭圆的根底知识的掌握．

3．椭圆的焦点为,，且离心率，假设点在椭圆上，，那么的值为〔　　〕

A．          B．    C．    D．

【分析】由椭圆的焦点在轴上，，那么离心率，即，解得：，根据椭圆的定义：，即|．

【解答】解：椭圆，椭圆的焦点在轴上，，

那么离心率，即，解得：

∴椭圆的长轴长为，

由椭圆的定义可知：，即，

应选A．

【点评】此题考察椭圆的标准方程及简单几何性质，考察椭圆的定义应用，考察计算能力，属于中档题．

4．，是椭圆的左右两个焦点，假设椭圆上存在点使得，那么该椭圆的离心率的取值围是〔　　〕

A．     B．       C．      D．

【分析】解设点，由，得，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值围．

【解答】解：∵，是椭圆的左右两个焦点，

∴离心率，

设点，由，得，化简得，

联立方程组，整理，得，

解得，又，

∴．

应选：B．

【点评】此题考察椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线垂直等知识点的灵活运用．

5．椭圆C：的左焦点为，直线与椭圆C交于两点，假设，那么C的离心率取值围为〔　　〕

A．       B．    C．     D．

【分析】由题意可知：四边形是矩形．由，，根据椭圆的定义，即可表示出，利用辅助角公式，及正弦函数的性质，即可求得的取值围，即可求得椭圆的离心率的取值围．

【解答】解：设是椭圆的右焦点，由，

∵点为的中点，，那么四边形是平行四边形，

∴四边形是矩形．

如下图设，那么，，

，

∴，

∴，

，

∵，

∴，那么，

∴，

∴．

应选B．

【点评】此题考察椭圆的性质，考察椭圆的定义，辅助角公式的应用，正弦函数的性质，考察计算能力，考察数形结合思想，属于中档题．

6．椭圆C：的左焦点为，假设点关于直线的对称点在椭圆C上，那么椭圆C的离心率为〔　　〕

A．        B．         C．        D．

【分析】求出关于直线的对称点的坐标，代入椭圆方程，整理可得椭圆C的离心率．

【解答】解：椭圆C：的左焦点，

设关于的对称点，

那么，解得．

∴，代入椭圆C：，得

，即．

∴．

整理得：．

解得〔舍〕或，

∴．

应选：D．

【点评】此题考察椭圆的简单性质，训练了点关于直线的对称点的求法，是中档题．

7．以为中心，，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，那么该椭圆的离心率为〔　　〕

A．         B．      C．      D．

【分析】延长与椭圆交于，由条件能推导出四边形是平行四边形，再由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，结合椭圆的性质求出椭圆的离心率．

【解答】解：延长与椭圆交于，

∵与互相平分，

∴四边形是平行四边形，

∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，

∴，

∵，

，，，

∴，

∴，

∴．

应选：C．

【点评】此题考察椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，熟练掌握椭圆的性质，是中档题．

8．，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，假设的最小值为，那么椭圆的离心率是〔　　〕

A．        B．       C．      D．

【分析】由题意画出图形，再由的最小值为，结合对勾函数的单调性可知当取最大值为时成立，求得值，那么椭圆离心率可求．

【解答】解：令，

那么为，其最小值为，

那么的最小值为．

由椭圆，得，

∵，∴椭圆的长轴长为．

∴，

∴，

由，解得或〔舍〕．

由对勾函数的单调性可知，当有最大值为时，有最小值为，

即，得．

∴椭圆的离心率．

应选：B．

【点评】此题考察椭圆的简单性质，考察了椭圆定义的应用，训练了利用“对勾函数〞的单调性求函数最值，是中档题．

9．椭圆的左右顶点分别为，点为椭圆上不同于的一点，假设直线与直线的斜率之积为，那么椭圆的离心率为〔　　〕

A．       B．      C．       D．

【分析】设出坐标，由直线的斜率之积为得一关系式，再由点在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得椭圆的离心率．

【解答】解：由椭圆方程可知，，

设，∴，

那么，整理得：，①

又，得，

即，②

联立①②，得，即，解得．

应选：C．

【点评】此题考察椭圆的简单性质，考察了数学转化思想方法，是中档题．

10．设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点P使得，那么该椭圆的离心率为〔　　〕

A．        B．        C．       D．

【分析】由椭圆定义可得，解方程可得，由条件可得的方程，求得，由的关系和离心率公式，计算即可得到所求离心率．

【解答】解：由椭圆定义可得，

，

解得，

，

可得，

即为，

化为，

可得，

，

那么该椭圆的离心率为．

应选：D．

【点评】此题考察椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和方程思想，考察运算能力，属于中档题．