2020-2021杭州市高一数学下期末模拟试题(及答案)

一、选择题

1．已知向量，，若与的夹角为，则（    ）

A．2 ． ． ．1

2．如图，在中，已知，，，，则

A．-45 ．13 ．-13 ．-37

3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． ． ． ．

4．如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（    ）

A． ．

C． ．

5．已知数列的前项和，那么它的通项公式是（   ）

A． ．

C． ．

6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为

A． ． ． ．

7．若均为锐角，，，则

A． ． ．或  ．

8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为

A．尺 ．尺 ．尺 ．尺

9．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（    ）

A． ． ． ．

10．设函数的最小正周期为，且，则（   ）

A．在上单调递增 ．在上单调递减

C．在上单调递减 ．在上单调递增

11．函数的图象大致为（    ）

A． ．

C． ．

12．若，则（   ）

A． ． ． ．

二、填空题

13．在区间上随机选取两个数和，则满足的概率为________．

14．_____

15．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为__________．

16．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数,则不等式的解集是________.

17．函数的定义域是__________．

18．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

19．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高

为            

20．已知点在直线上，则的最小值为_______．

三、解答题

21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）若=19,求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

22．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明平面；

（II）求四面体的体积.

23．如图，在等腰直角中，，，点在线段上.

(Ⅰ) 若，求的长；

（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.

24．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．

（1）求证: 平面平面；

（2）求证:平面；

（3）求三棱锥体积．

25．已知等差数列的前n项和为，且，．

（1）求；

（2）设数列的前n项和为，求证：．

26．中，三个内角的对边分别为，若，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

先计算与的模，再根据向量数量积的性质即可计算求值.

【详解】

因为，，

所以，.

又

，

所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

先用和表示出 

再根据，用用和表示出，再根据求出的值，最后将的值代入，从而得出答案．

【详解】

∵，

∴ 

整理可得：， 

∴，

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.

4．B

解析：B

【解析】

【分析】

计算函数的表达式，对比图像得到答案.

【详解】

根据题意知：

到直线的距离为： 

对应图像为B

故答案选B

【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.

5．C

解析：C

【解析】

分类讨论：当时，，

当时，，

且当时：

据此可得，数列的通项公式为：.

本题选择C选项.

6．C

解析：C

【解析】

分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．

详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．

∴．

故选C．

点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．

7．B

解析：B

【解析】

【分析】

利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．

【详解】

∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ，

∵，且 ， 

∴ ，

则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα 

故选B.

【点睛】

本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

8．C

解析：C

【解析】

试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.

考点：等差数列

9．B

解析：B

【解析】

【分析】

利用向量的数量积运算即可算出．

【详解】

解：

，，

又在上

，

故选：

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

将f(x)化简，求得，再进行判断即可.

【详解】

∵最小正周期为得，

又为偶函数，所以,

∵,k=-1,,

当,即,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，

故选A.

【点睛】

本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.

11．A

解析：A

【解析】

【分析】

先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

【详解】

由题函数定义域为，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，，则函数图像大致为A选项所示.

故选：A

【点睛】

此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

12．D

解析：D

【解析】

由有，所以，选D.

点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

二、填空题

13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为

解析：

【解析】

概率为几何概型，如图，满足的概率为 

14．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二

解析：

【解析】

【分析】

将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.

【详解】

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.

15．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则

解析：2

【解析】

抛物线的准线为，与圆相切，则，．

16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为

解析：

【解析】

由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数,可得函数在区间 上是增函数,所以由不等式得,即或,解得或,即不等式的解集是;故答案为.

17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为

解析：

【解析】

由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.

18．如果l⊥αm∥α则l⊥m或如果l⊥αl⊥m则m∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l⊥αm∥α则l⊥m正确；（2）如果

解析：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.

【解析】

【分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】

将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；

（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；

（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.

【点睛】

本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x则可知a表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题

解析：

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知，a表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．

考点：解三角形的运用

点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．

20．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于

解析：3

【解析】

【分析】

由题意可知表示点到点的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.

【详解】

可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.

三、解答题

21．(1);(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分x19及x＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.

试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.

（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.

（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【考点】函数解析式、概率与统计

【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．

试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为平面，为的中点，

所以到平面的距离为.

取的中点，连结.由得，.

由得到的距离为，故.

所以四面体的体积.

【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

23．(Ⅰ)或（Ⅱ）当时， 的面积的最小值为

【解析】

【分析】

【详解】

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,

由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,

得MP2-4MP+3=0,

解得MP=1或MP=3.

(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,

在△OMP中,由正弦定理,

得=,

所以OM=,

同理ON=.

故S△OMN=OM·ON·sin∠MON

=×

=

=

=

=

=

=.

因为0°≤α≤60°,

30°≤2α+30°≤150°,

所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,

此时△OMN的面积取到最小值.

即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.

24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.

（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.

（2）取AB中点G，连结EG，FG，

因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，

因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，

所以四边形为平行四边形，所以EG，

又因为EG平面ABE，平面ABE，

所以平面.

（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，

所以三棱锥的体积为：==.

考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

25．（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）设公差为，由，可得解得，，从而可得结果；（2） 由（1），，则有，则，利用裂项相消法求解即可.

【详解】

（1）设公差为d，由题解得，．

所以． 

（2） 由（1），，则有．

则．

所以 

 ．

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

26．（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB•（2a+c）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案．

详解：

（1）∵，∴，

∴，

∴ ，

∴，∴.

（2）根据余弦定理可知，∴，

又因为，∴，∴，∴，

则.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.