2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题

1．下列直线中，倾斜角为45°的是（       ）

A． ．

C． ．

【答案】C

【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.

【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，

对于A，直线斜率为，

对于B，直线无斜率，

对于C，直线斜率，

对于D，直线斜率，

故选：C

2．若直线与直线垂直，则a的值为（       ）

A．2 ．1 ． ．

【答案】A

【分析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.

【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.

故选：A

3．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（       ）

A． ．

C． ．

【答案】B

【分析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．

【详解】因为是的中点，是的中点，

，．

故选：B

4．平面与平面平行的充分条件可以是（       ）

A．平面内有一条直线与平面平行

B．平面内有两条直线分别与平面平行

C．平面内有无数条直线分别与平面平行

D．平面内有两条相交直线分别与平面平行

【答案】D

【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.

【详解】对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；

对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；

对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；

对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.

故选：D.

5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（       ）

A． ． ． ．2

【答案】A

【分析】先求出渐近线方程，进而将点代入直线方程得到a,b关系，进而求出离心率.

【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，而一条渐近线过点，则，.

故选：A.

6．已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（       ）

A． ． ． ．

【答案】B

【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.

【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为，

所以截面的面积.

故选：B

7．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（       ）

A．1 ． ． ．

【答案】A

【分析】设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可.

【详解】因为平面ABC，

所以,

因为，，

所以

又，，

所以,

所以,

设点A到平面PBC的距离为，

则,

即,

，

故选：A

8．如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是，，，，，，，，是图中两组同心圆的部分公共点，若点在以，为焦点的椭圆上，则（       ）

A．点和都在椭圆上 ．点和都在椭圆上

C．点和都在椭圆上 ．点和都在椭圆上

【答案】C

【分析】由，即椭圆中的，然后根据定义逐一判断即可.

【详解】因为点在以，为焦点的椭圆上，

所以，即椭圆中的

因为，

， 

所以在椭圆上

故选：C

9．设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（       ）

A． ．1 ． ．

【答案】D

【分析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.

【详解】因为过过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，

也即直线与圆相离或相切，

则，即，解得，

故的最大值为.

故选：D.

10．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示

A．甲 ．乙 ．丙 ．丁

【答案】D

【分析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.

【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，

再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,

,

,

所以花瓶的容积，

故最接近的是丁同学的估算，

故选：D

二、填空题

11．在棱长为1的正方体中，___________.

【答案】1

【分析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解.

【详解】如图，在正方体中，

，

故答案为：1

12．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.

【详解】在椭圆中，，，则，则，

由题意可知，、关于原点对称，

当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.

故答案为：.

13．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.

给出下面三个结论：

①在翻折过程中，存在某个位置，使得；

②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；

③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】②③

【分析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可判断.

【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，

则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，

故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由于，，

所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误；

对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故正确；

对于③，，，由②的讨论得，

所以，

所以

，

设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，

所以，故，

由于要使直线与为异面直线，所以，

所以，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，

由于，

所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.

故答案为：②③

三、双空题

14．圆的圆心坐标为___________；半径为___________.

【答案】          

【分析】配方后可得圆心坐标和半径．

【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，

圆心坐标为，半径为．

故答案为：；．

15．已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M的标准方程是___________.

【答案】     ①②或①③或② ③     或或

【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出，即可求解.

【详解】选①②，由题意则，，

，

双曲线的标准方程为，

故答案为：①②；，

选①③ ，由题意，，

，

，

双曲线的标准方程为，

选 ② ③，由题意知，

，

，

双曲线的标准方程为.

故答案为：①②；或①③；或② ③ ；.

四、解答题

16．在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点.

(1)求圆O的方程；

(2)若直线与圆O交于两点A，B，求弦长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；

（2）根据直线与圆的弦长公式即可求解．

(1)

由，所以圆O的方程为；

(2)

由点O到直线的距离为

所以弦长

17．如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱的中点，连接，，CM.

(1)证明：AC平面；

(2)证明：平面；

(3)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见详解；

(2)证明见详解；

(3)

【分析】小问1：由于，根据线面平行判定定理即可证明；

小问2：以为原点，分别为轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；

小问3：分别求得平面与平面的法向量，根据向量夹角公式即可求解．

(1)

在直三棱柱中，，且平面，平面

所以AC平面；

(2)

因为，故以为原点，分别为轴建立空间坐标系如图所示：

则，

所以

则

所以又

平面，平面

故平面；

(3)

由，得，

设平面的一个法向量为

则得

又因为平面的一个法向量为

所以

所以二面角的大小为

18．已知抛物线C：经过点.

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若，求直线l的方程.

【答案】(1)抛物线C的方程为，准线方程为

(2)或.

【分析】（1）将点代入抛物线求出即可得出抛物线方程和准线方程；

（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长和即可求出.

(1)

将代入可得，解得，

所以抛物线C的方程为，准线方程为；

(2)

由题得，设直线方程为，，

设，

联立方程，可得，则，

所以，

因为直线与准线交于点Q，则，

则，

因为，所以，解得，

所以直线l的方程为或.

19．已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；

（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，，故，综合即可得证明.

(1)

解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为

所以，所以

所以椭圆的方程为.

(2)

解：设点，则点,

所以联立方程得，

所以有，解得，

因为，故或

设，

所以

设向量，

所以

，

所以，即，

设的中点为，则

所以，

又因为，所以，

所以，

因为点关于轴的对称点为.

所以，

所以，

所以是等腰直角三角形.