专题二：基本初等函数

【知识链接】

一、函数的有关概念：

设A,B非空的集合，如果按照某种确定的对应关系使对于集合A中的任何一个数，在集合B中都有唯一确定的是和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。

1.函数的三要素： 

2.函数相等：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等。

3.函数的表示法： 

4.函数的定义域：

①分式的分母不为0

②根式的被开方数大于或等于0

③对数的真数大于0，底数大于0且不等于1

④零次幂的底数不等于0

⑤三角函数中的正切； 

⑥已知函数的定义域为D，求函数的定义域，只需

⑦已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域。

二、函数的基本性质

注意：①若，则是周期为的周期函数；若则是周期为

        的周期函数；若恒成立，则是周期为的周期函数；若   

        恒成立，则是周期为的周期函数。

      ②若函数有两条对称轴，则必是周期函数，且周期为 

      ③若图像有两个对称中心，则是周期函数，且周期为

      ④若的图像有一条对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数且

        周期为

      ⑤若，则函数的图像关于轴对称。

      ⑥，则函数的图像关于中心对称。

      ⑦复合函数的单调性满足“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数

        的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为

        减函数。

      ⑧奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的

        单调性相反

      ⑨两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的奇是偶函数

        两个偶函数的和、积是偶函数

        一个奇函数、一个偶函数的奇是奇函数

三、指数函数

定义：形如的函数叫做指数函数。

图像：①                       性质：当时， 

                                         当时， 

                                         在定义域R上是增函数

      ②                       性质：当时， 

                                         当时， 

                                         在定义域R上是减函数

注意：指数函数图形过点符合底大图像高。

4、对数函数

1.对数的性质与运算法则：

①； 

②换底公式

③对数的四则运算法则：

2.对数函数的图像与性质

图像：①                          性质：当时， 

                                             当时， 

                                             在定义域上是增函数

      ②                       性质：当时， 

                                             当时， 

                                       在定义域上是减函数

注意：①指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称

      ②对数函数的图像过点符合底大图像低。

5、幂函数： 

1.幂函数的图像与性质：

①当，                  性质：在第一象限内单调递增，图像是向下凸的

②当时，               性质：在第一象限内单调增加，图像是向上凸的

③当，                  性质：在第一象限内单调递减，图像是向下凸的

注意：①所有的幂函数在第一象限都有定义

      ②当时，幂函数过点与点，函数在第一象限为增函数。

      ③当时，幂函数过点,函数在第一象限为减函数。

      ④幂函数的图像在上符合指大图像高（指数越大，图像越远离轴）

      ⑤幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于能否出现在第二、第三象

        限内，要看函数的奇偶性。如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。

6、函数的变换：

1.平移变换：

①的图像向左平移个单位得到函数的图像；向右平移个单位长度得到函数的图像（即左加右减）

②对于上下平移，原则是上加下减

2.对称变换：

①的图像关于x轴的对称为；关于y轴对称为；关于原点对称为 

  ；关于直线对称为

②的图像：可将的图像在x轴下方的部分关于x轴对称，其余部分不变

③的图像：可将的图像在y轴右方的部分关于y轴对称，其余部分不变

3.伸缩变换：

①图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A被得

②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得

七、函数的值域和最值、极值

【核心要点突破】

考点一：基本初等函数问题

例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是

 （A）  y=-1(x>0)  (B) y=+1(x>0)

(C)  y=-1(x R)     (D）y=+1 (x R)

例2：（2010·天津高考文科·Ｔ6）设（     ）

    (A)a例3：（2009全国卷Ⅱ理）设，则            

    A.        B.       C.       D. 

例4：若函数是函数的反函数，且，则 (      )

  A．     B．        C．       D．2 

考点二：函数与映射概念的应用问题

例1：（2010·天津高考理科·Ｔ8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是                                                                        (      )

（A）（-1，0）∪（0，1）                 （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）   

（C）（-1，0）∪（1,+∞）                （D）（-∞，-1）∪（0,1）

例2：（2008年山东文科卷）已知，则

的值等于          ．:

考点三：函数图象问题

例1：（2010·山东高考理科·Ｔ11）函数的图象大致是（   ）

例2：（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点（      ）

    A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

    B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

    C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

    D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

例3：(2006年重庆卷)设，函数有最大值，则不等式

的解集为         .

例4：(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为        .  

考点四：函数性质问题

例1：已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝

A.                B.            C.                 D.

例2：（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为

A.           B.         C.          D.1

例3：（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性； 

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

例4：（2006年辽宁卷）设则__________

例:5：(07上海)已知函数

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。

【高考真题探究】

1.（2010·上海高考理科·Ｔ8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是         

2.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ8）设， ，,则（  ）

A a3.（2010·重庆高考理科·Ｔ5）函数的图象（  ）

A．关于原点对称              B．关于直线y=x对称  

C．关于x轴对称              D．关于y轴对称

4.（2010·北京高考文科·Ｔ6）给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（A）①②       （B）②③        （C）③④       （D）①④

5.（2010·浙江高考理科·Ｔ10）

设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（  ）

（A）4              （B）6          （C）8            （D）10

6. （2010·江苏高考·Ｔ11）已知函数,则满足不等式的x的取值范围是_____。

【跟踪模拟训练】

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）

1．设函数f（x）=log2x的反函数为y=g（x），若，则a等于（    ）

    A．-2        B．        C．        D．2

2.已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为                                                                 （    ）

    ①

    ②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个

③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时

    A．0    B．1    C．2    D．3

3.函数与在同一坐标系的图象为        （    ）

4.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（    ）

①；    ②；

③；    ④．

（A）①③      （B）②④         （C）①④         （D）①②③④

5.下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是(   )

A．=         B. =       C .=           D 

6. f(x)=，则＝（   ）

    （A）-23    （B）11    （C）19           （D）24

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）

7．已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则      ．

8．已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为       . 

9．给出下列四个命题：

    ①函数在区间上存在零点

②若=0，则函数在取得极值；

③≥-1，则函数的值域为R；

④“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。

其中真命题是            （把你认为正确的命题序号都填在横线上）

三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）

10．据调查，安徽某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元.为了增加农民的收入，当地积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作. 据估计，如果有x(x＞0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a＞0为常数）.

（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；

（II）在（I）的条件下，当地应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？

11．已知函数f(x)=lnx- (a∈R).

(1)当a∈［-e,-1］时，试讨论f(x)在［1,e］上的单调性；

(2)若f(x)12．(探究创新题)若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.

（1）已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；

（2）已知函数g(x)在（-∞，0）∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0,+∞)时，g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式；

（3）在(1)(2)的条件下，当t>0时，若对任意实数x∈(-∞,0)，恒有g(x)参

1. 【解析】选C  因为函数f（x）=log2x的反函数为所以由

得

2. 【解析】选B  当时，故①错误；若若故②错误；

设B菌的个数为

所以，故③正确。

3. 【解析】选A  因为，所以函数的图像在函数图像的下方，排除C、D；

，排除B，故选A。

4. 【解析】选D 因为，

同理可证其它3个式子也成立。

5. 【解析】选A依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。

6. 【解析】选D 

7. 【解析】由已知得

所以在区间上的最大值为故

答案：

8. 【解析】，函数在R上递减。由得：m答案：m9. 【解析】①正确：显然在上是增函数，且

所以函数在区间上存在零点；②不正确，例

；③正确：

对于④：若，则又的定义域为R，所以“函数在定义域上是奇函数”；若函数在定义域上是奇函数，则恒成立。因为，

所以恒成立，

所以，故“函数在定义域上是奇函数” 推不出“”，

所以④正确。综上正确的为①③④。

答案：①③④

10. 【解】（I）据题意，（100－x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，

即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.                                        

又x＞0，故x的取值范围是(0，50].                                 

（II）设这100万农民的人均年收入为y元，则

y＝

＝－[x－25(a＋1)]2＋3000＋475(a＋1)2 (0（1）若0＜25(a＋1)≤50，即0＜a≤1，则当x＝25(a＋1)时，y取最大值； 

（2）若25(a＋1)＞50，即a ＞1，则当x＝50时，y取最大值.            

答：当0＜a≤1时，安排25(a＋1)万人进入加工企业工作，当a＞1时，安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大.                   

11. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，

当-e≤a≤-1时，1≤-a≤e,令f′(x)=0得x=-a,于是当1≤x≤-a时，f′(x)≤0,∴f(x)在［1,-a］上为减函数,当-a≤x≤e时，f′(x)≥0,∴f(x)在［-a,e］上为增函数.

综上可知，当-e≤a≤-1时f(x)在［1,-a］上为减函数，在［-a,e］上为增函数.

(2)由f(x)xlnx-x2.令g(x)=xlnx-x2,要使a>xlnx-x2在［1,+∞)上恒成立，

只需a>g(x)max,g′(x)=lnx-2x+1,令φ(x)=lnx-2x+1,则φ′(x)= -2,

∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上单调递减，∴φ(x)≤φ(1)=-1<0,因此g′(x)<0,故g(x)在［1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=-1,

∴a的取值范围是(-1,+∞).

12. 【解析】（1）由题设可得f(x)+f(-x)=2,即+=2，解得.

(2)当x<0时，-x>0且g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2- g(-x)=-x2+ax+1.

(3)由（1）得f(t)=t++1(t>0),其最小值为f(1)=3.

g(x)= -x2+ax+1=-(x-a/2)2+1+,

①当

②当

【备课资源】

1.已知函数，若，则实数=           （   ）

（A）-1        （B）    （C）-1或        （D）1或

2. f(x)=则f(f(2))的值为(     )

(A)0        (B)1        (C)2        (D)3

3. 设a=π0.3,b=logπ3,c=30,则a,b,c的大小关系是(     )

(A)a>b>c     (B)b>c>a

(C)b>a>c     (D)a>c>b

4. 已知函数y=f(x)与y=ex互为反函数，函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a的值为(    )

5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，f(1)>0，f(2)=，则m的取值范围是（   ）

（A）       （B）    （C）    （D）

6.如图是函数的图象，则      （   ）

（A）   （B）

（C）   （D）

7.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数的图象大致是（  ）

8. 若定义在R上的函数g(x)满足：对任意x1,x2有g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,则下列说法一定正确的是(   )

(A)g(x)为奇函数 (B)g(x)为偶函数(C)g(x)+1为奇函数(D)g(x)+1为偶函数

9.设为奇函数,为常数.

(1)求的值得;

(2)证明f(x)在区间(1,+)内单调递增;

(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式恒成立,求实数的取值范围.

参

1. 【解析】选C。当>0时，，解得；当≤0时，，解得=-1

2. 【解析】选C.∵f(2)=log3(22-1)=1,

∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.

3. 【解析】选D.∵a=π0.3>π0=1,0c=30=1,∴a>c>b.

4. 【解析】选C.由已知得f(x)=lnx,又y=g(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)=-f(x)=-lnx,又g(a)=1,∴-lna=1,∴a=.

5. 【解析】选C由已知f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1).又f(1)>0, ∴<0.解得。

6. 【解析】选C.将分数指数化为根式，，由定义域为R，值域为［0，+∞）知n为奇数，m为偶数，又由幂函数y=xα,当α>1时，图象在第一象限的部分下凸，当0<α<1时，图象在第一象限的部分上凸，故选C.或由图象知函数为偶函数，∴m为

偶数，n为奇数.又在第一象限内上凸,∴<1.

7. 【解析】选C.由f(x)图象知f(x)≥1, ∴≤0,结合图象知先C.

8. 【解析】选C.由已知：令x1=x2=0得,g(0)=2g(0)+1,∴g(0)=-1,

令x1=x,x2=-x,则有g(0)=g(-x)+g(x)+1,∴有g(x)+1=-［g(-x)+1］,故g(x)+1为奇函数.

9. 【解析】(1)由已知f(x)+f(-x)=0即

(2)由(1)得

(3)原不等式可化为