2014年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 当x→x0时，若f(x)存在极限，g(x)不存在极限，则下列结论正确的是  (    )

A．当x→x0时，f(x)g(x)必定存在极限

B．当x→x0时，f(x)g(x)必定不存在极限

C．当x→x0时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零

D．当x→x0时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限

正确答案：D           

解析：极限运算法则，可以举反例，若f(x)=x2，g(x)=lnx，则f(x)= x2=0，g(x)=lnx＝－∞，但f(x).g(x)=x2lnx=0；若f(x)=2，g(x)=sin=2， 不存在，但f(x).g(x)=不存在；可见选项D正确．

2． 曲线y=x3－3x上切线平行于x轴的点是    (    )

A．(0，0)

B．(1，2)

C．(一1，2)

D．(0，2)

正确答案：C           

解析：由导数几何意义可知，k切=y′(x0)=3—3=0，所以切点坐标为(1，一2)或(一1，2)，即选项C正确．

3． 函数f(x)=(x2—x一2)｜x3一x｜的不可导点个数是    (    )

A．3

B．2

C．1

D．0

正确答案：B           

解析：导数定义，f′(0)=所以f′－(0)==2，f′＋(0)==－2所以函数f(x)在x=0处不可导；同理，f′(1)=所以f′－(1)=一(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝4．f′＋(1)=(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝－4，所以函数f(x)在x=1处不可导；f′(－1)==(x－2)｜x3－x｜=0，所以函数f(x)在x=－1处可导；综上可知，函数f(x)共有2个不可导点，选项B正确．

4． 若f(x=sin(t一x)dt，则f(x)=    (   )

A．－sinx

B．－1＋cosx

C．sinx

D．0

正确答案：A           

解析：变限函数求导数，因为sin(t一x)dtsinudu，所以sin(t—x)dt=sinudu=0一sin(一x).(一1)=－sim，可见选项A正确．

5． 微分方程y′＋的通解是        (    )

A．arctanx＋C

B．(arctanx＋C)

C．arctanx＋C

D．＋arctanx＋C

正确答案：B           

解析：一阶线性微分方程，由通解公式可得y=e－∫p(x)dx[∫Q(x).e∫p(x)dxdx+C]=.elnxdx+C]=(arctanx+C)，可见选项B正确．

填空题

6． 设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且f(2)=3，则=___________．

正确答案：9           

解析：利用连续性求极限，=3f(2)=9

7． 设f(x)=，则f[f(x)]=___________．

正确答案：           

解析：求复合函数的表达式，f[f(x)]=f[f(x)]=

8． 曲线y=xln(e＋)(x＞0)的渐近线方程是___________．

正确答案：y=x+           

解析：计算斜渐近线，设直线y=ax+b为所求曲线的渐近线，则a==lne=1，b=所以，斜渐近线为y=x+．

9． 设y=ln，则y′｜x=0=___________．

正确答案：-1           

解析：求导函数，因为y=ln[ln(1一x)一ln(1+x)]所以y′=，故y′(0)＝－1．

10． 曲线y=(x＞0)的拐点是___________．

正确答案：()           

解析：求曲线的拐点，当x＞0时，y′=令y″=0，得x=，所以拐点为()．

11． 由曲线y=x和y=x2所围成的平面图形的面积是___________．

正确答案：           

解析：据题意画图，求所围平面图形的面积S=(x—x2)dx=(x2一

12． 将函数f(x)=sin2x展开成x的幂级数为___________．

正确答案：，x∈(一∞，+∞)           

解析：麦克劳林展式，f(x)=sin2x=cos2x，又因cosx=x2n，x∈(一∞，+∞)，所以cos2x=(2x)2n即f(x)=，x∈(一∞，+∞)．

13． 设(a×b).c=1，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)=___________．

正确答案：2           

解析：混合积，向量积运算法则，在混合积计算中，如有两向量相同，则混合积为0．因此，[(a+b)×(b+c)].(c+a)=[a×(b+c)+b×(b+c)]=[a×b+a×c+b×b+b×c].(c+a)=[a×b+a×c+b×c].(c+a)=(a×b).c+(a×b).a+(a×c).c+(a×c).a+(b×c).c+(b×c).a=(a×b).c－(b×c).a=2(a×b).c=2

14． 微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为___________．

正确答案：ln｜xy｜+x－y+C=0，C为任意常数           

解析：可分离变量的微分方程，(1+x)ydx+(1一y)xdx=0x+ln｜x+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜+C，C为任意常数．

15． 设二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=C1ex+C1e2x，那么非齐次y″＋ay′＋by=1满足的条件y(0)=2，y′(0)=－1的解为___________．

正确答案：y=4ex－           

解析：求二阶线性常系数非齐次方程的通解，特征方程为r2+ar+b=0，r1=1，r2=2即(r－1)(r－2)=0，r2－3r+2=0，故a=－3，b=2．所以原微分方程为y″一3y′+2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，取k=0，因此，设特解y*=A，则(y*)′=0，(y*)″=0，代入可得A=，所以y*=，所以y″一3y′+2y=1的通解为y=C1ex+C2e2x+，再由y(0)=2，y′(0)=－1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex－

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

16． 求极限．

正确答案：   

17． 确定函数f(x)=的间断点及类型．

正确答案：(1)间断点为x=0和x=1=∞，故x=0是第二类无穷间断点；  (2)=0=1x=1是第一类跳跃间断点．    

18． 设函数y=y(x)由参数方程所确定，求

正确答案：   

19． 在曲线y=x2一x上求一点P，使点P到定点A(0，1)的距离最近．

正确答案：设点P的坐标是(x，x2一x)，则｜PA｜=令f(x)=x2+(x2一x一1)2，由f′(x)=2(x一1)2(2x+1)=0，得驻点x=1，x=．划分定义域并列表如下：由表可知，函数f(x)在x=－处取极小值，且极小值为f()结合f(x)的单调性可知此极小值且为最小值，故点P的坐标为()，且最近距离为．所以点P()即为所求的点．   

20． 求

正确答案：=－2cot+C，C为任意常数    

21． 设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，f(0)=0，当0＜x＜1时，求f(x)．

正确答案：f′(sin2x)=cos2x+tan2x=1—2sin2x+，所以f′(x)=1－2x+(0＜x＜1)，f(0)=0 所以f(x)=∫(1－2x)dx+∫dx=x－x2+∫(－1+)dx=－x2－∫d(1一x)=－x2－ln｜1－x｜+C再由f(0)=0可得C=0因此f(x)=f′(t)dt=－x2一ln(1一x)(0＜x＜1)   

22． 根据a的取值情况，讨论级数的敛散性．

正确答案：将级数的一般项进行分子有理化，得到un=所以有.un=2． (1)当a＞时，由于收敛，因此级数收敛；(2)当a≤时，由于发散，因此级数发散．   

23． 求过点M(1，2，一1)且与直线垂直的平面方程．

正确答案：由题意，得已知直线的点向式方程为所以已知直线的方向向量是(一1，3，1)，即为所求平面的法向量．所以所求平面的方程是一(x一1)+3(y一2)+(z+1)=0即x一3y—z+4=0．    

综合题

24． 设函数f(x)=是连续函数，试求a，b的值．

正确答案：当｜x｜＜1时，x2n=0，所以f(x)==ax2+bx；当｜x｜＞1时，f(x)=；当x=1时，f1)=；当x=－1时，f(－1)=，所以f(x)=又因函数f(x)处处连续，所以(ax2+bx)=a+b=f(1)，=1=f(1)，因此=a+b=1，即a+b=1  ①同理，=－1=f(－1)，(ax2+bx)=a－b=f(－1)，因此=a－b=－1，即a－b=－1    ②由①②解得a=0，b=1     

25． 设=1，且f″(x)>0，证明：f(x)≥x．

正确答案：因为函数f(x)连续且具有一阶导数，故由=1，得f(0)=0f′(0)==1．由f(x)的泰勒公式，得f(x)=f(0)+f′(0)x+x2，ξ介于0和x之间因为f″(x)＞0，所以f(x)≥x．   

26． 已知，求x的值．

正确答案：设u=，则et=u2+1，etdt=2udu． du=2arctanu=2(arctan=－2arctan所以arctan=1，因此x=ln2．