2011江西中考数学试卷及答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

1.下列各数中，最小的是（    ）.

A. 0      B. 1      C.－1       D. －

2.根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学计数法表示为（    ）.

A. 4.456×107人   B. 4.456×106人   C. 4456×104人     D. 4.456×103人

3.将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中的实物的俯视图是（   ）.

4.下列运算正确的是（   ）.

A.a+b=ab    B. a2·a3=a5   C.a2+2ab－b2=(a－b)2    D.3a－2a=1

5.已知一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是(    ).

A .－2      B.－1     C. 0      D. 2

6.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是(     ).

  A .1         B.2        C.－2        D.－1

7.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（     ）.

A.BD=DC， AB=AC             B.∠ADB=∠ADC，BD=DC  

  C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD      D. ∠B=∠C，BD=DC 

8.时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°.在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y(度)，运行时间为t(分)，当时间从12︰00开始到12︰30止，y与 t之间的函数图象是（    ）.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.计算：－2－1=__________.

10.因式分解：x3-x=______________.

11.函数中，自变量x的取值范围是            .

12.方程组的解是                  .

13.如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度.

14.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案.设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是             .

15.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________.

16.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB =30°.有以下四个结论：①AF⊥BC  ②△ADG≌△ACF  ③O为BC的中点 ④AG︰DE=，其中正确结论的序号是              .

三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17.先化简，再求值：，其中

18.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.

（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.

19.如图，四边形ABCD为菱形,已知A(0,4)，B(－3,0).

（1）求点D的坐标；

（2）求经过点C的反比例函数解析式.

四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

20.有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.

（1）直接写出其余四个圆的直径长；

（2）求相邻两圆的间距.

21.如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）.

（1）求∠BAC的度数；

（2）求△ABC面积的最大值.

（参考数据： ，，.）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22.图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =34cm，AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）

23.以下是某省2010年教育发展情况有关数据：

全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.

请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析.

（1）整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.

（2）描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充完整.

（3）分析数据：

①分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出.（师生比=在职教师数︰在校学生数）

②根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可）

③从扇形统计图中，你得出什么结论？（写出一个即可）

六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24.将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.

（1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

25.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.

活动一：

  如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A1A2为第1根小棒）

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①=_________度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…）， 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.

数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，则1 =_________， 2=________， 3=________；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

参及评分意见

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

1．D    2．A    3．C    4．B   5．D        6．C    7．D    8．A 

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

9.    10.    11．        12．      13. 90

 14．（或）　　15．（0，1）    16．①②③④

三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分） 

17．解：原式=.   ………………3分

        当时，原式=  …………6分

18．解：（1）方法一  画树状图如下：

         所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种.                    

∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=.                ………4分

方法二     列表格如下：

∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=.      ………………4分

   （2）P（恰好选中乙同学）=.          ………………6分

19．解：（1） ∵， ∴∴.

           在菱形中，, ∴,   ∴. …………3分

（2）∵∥,  ，   ∴.

设经过点C的反比例函数解析式为.

          把代入中，得：，  ∴，∴.  ……6分

四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

20．解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm.………………4分

       （2）依题意得，，    ……………6分

           ∴∴.                           ………………7分

     答：相邻两圆的间距为cm.         ………………8分

21．解：(1) 解法一

连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E. ∵OE⊥BC，BC=，∴.  …1分

在Rt△OBE中，OB=2，∵，∴,  

∴，∴.  ……4分

解法二

连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD.

       ∵BD是直径，∴BD=4，.

       在Rt△DBC中，,

           ∴，∴.………………4分

(2) 解法一

因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处.       ………………5分

过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC，.

       在Rt△ABE中，∵，

       ∴，

           ∴S△ABC=. 

           答：△ABC面积的最大值是.………………8分

           解法二

因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处.    ………………5分

过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC.

           ∵,    ∴△ABC是等边三角形.        ………………6分

在Rt△ABE中，∵，∴，∴S△ABC=.                

答：△ABC面积的最大值是.………………8分

五、22．解法一

连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.………………1分

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，

∴ tan∠ABO=，  ∴∠ABO=73.6°，……4分

∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°.………5分

又 ∵，……………6分

∴在Rt△OBG中，.…8分

∴水桶提手合格.                    ……………9分

   解法二    连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.    ……………1分

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，∴ tan∠ABO=，                  

 ∴∠ABO=73.6°.                          ………………4分

要使OG≥OA，只需∠OBC≥∠ABO，

∵∠OBC=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°＞73.6°，……8分

∴水桶提手合格.                         ………………9分

23．解：（1）2010年全省教育发展情况统计表……………3分

（2）   ……………6分

（3）①小学师生比=1︰22， 初中师生比≈1︰16.7，   高中师生比=1︰15，

          ∴小学学段的师生比最小.           ………7分

②如：小学在校学生数最多等.       ………8分

③如：高中学校所数偏少等.            ………9分

六、24．解：（1）.       ………………2分

（2）①令，得：，

               则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.

∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.

当时，如图①，，∴.  ……4分

当时，如图②，， ∴.  …………6分

∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点.  

②存在.                                       ………………7分

方法一

理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.

即M，N关于原点O对称，  ∴. 

∵， ∴A，E关于原点O对称，   ∴，

∴四边形ANEM为平行四边形.                    ………………8分

要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,

即，       ∴.

∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分

方法二

理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：.

即M，N关于原点O对称，  ∴. 

∵， ∴A，E关于原点O对称，   ∴，

∴四边形ANEM为平行四边形.     ………………8分

∵，

，

，

若，则，∴.

此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°.

∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分

25.解: （１）能．                              ………………1分

      （２）① 22.5°.                           ………………2分

            ②方法一

∵A A1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，

              ∴A1A3=，AA3=.

              又∵A2A3⊥A3A4 ，∴A1A2∥A3A4.

同理：A3A4∥A5A6，

∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6

              ∴a2=A3A4=AA3=，

                a3=AA3+ A3A5=a2+ A3A5.           ………………3分

∵A3A5=a2，

              ∴a3=A5A6=AA5=.  ………………4分

方法二

∵A A1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，

              ∴A1A3=，AA3=.

              又∵A2A3⊥A3A4 ，∴A1A2∥A3A4.

同理：A3A4∥A5A6.

∴∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4 A6A5，

              ∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

              ∴，∴a3=.    ………………4分

                                 ………………5分

（３）                           ………………6分

                                       ………………7分

                                   ………………8分

（４）由题意得： 

       ∴.                    ………………10分