分析高中数学立体几何的解题技巧

作者：王玉娟

来源：《理科考试研究·高中》2015年第06期

        对高中数学立体几何而言，如何对立体几何问题有效的解析始终是学生和教师关注的问题.立体几何问题作为一种抽象化的问题，其核心主要是距离、垂直、平行以及夹角之间的关系，并依据于相关的定理和概念，对各种几何图形的不同分割加以使用，进而做好立体几何问题的解析.

        一、函数思想的应用

        一般而言，函数思想，主要是借助于运动和变化的基本观点，并对立体几何中的数量关系进行分析，进而借助于函数思想对函数关系进行建立和构造，并将抽象的复杂问题转化为一种函数问题，最终实现问题的解答.这种函数思想主要是借助于函数的基本概念，并对学生的解题进行指导，进而做好对几何问题的全面分析，对于学生逻辑思维能力的提升有着一定的积极作用.

        函数思想对立体几何问题进行解析的过程中，更加注重函数关系的构造，实现化难为易的目的，并借助于函数的性质和证明不等式等，做好立体几何问题的解答.如高中数学中这一例题而言：如图1所示，PA和圆O所在的平面垂直，同时圆O的直径是AB，C是圆周上的一点，若∠BAC=α，同时PA=PB=2r，求异面直线PB和AC之间的距离.

        在求解的过程中，首先就要对直线AC和PB之间距离进行分析，尽可能的将直线PB上任何一点到直线AC之间距离的最小值求出，并对变量进行设定对目标函数进行建立，进而将目标函数的最小值求出.首先就要在PB上将任意一点M取出，并保证MD和AC垂直于D，同时MH和AB垂直于H.假设MH=x，同时MH和平面ABC垂直，同时AC和HD垂直.

        MD值最小的时候，只有x=2rsin2α/（1+sin2α），可求得两异面直线的距离.该题型在解答的过程中，主要是将两条异面直线的距离向异面直线上两点之间的距离进行转换，进而对其最小值进行求解.这种解析方法主要是对函数的性质加以利用，进而对立体几何做的一种解答.

        二、空间几何思想的应用

        高中数学立体几何问题解答的过程中，更要对立体几何的相关知识结构进行详细的分析，并对线和面之间的知识以及面与面平行的相关知识进行全面的分析，尽可能将其向向量之间的平行和向量共面之间的问题进行转换，进而实现一种化难为易的解答.

        对于空间几何图形的垂直关系而言，不仅仅有线与线之间的垂直，同时也存在面与面的垂直和线与面的垂直.这种向量之间的转化，主要如下所示：l⊥πs∥ms=km，k∈R，同时s和π内的两个相交向量相互垂直，也即是一种线面垂直.

        线线垂直主要表现为lm⊥lnsm⊥snsm·sn=0.

        面面垂直主要表现为π1⊥π2m1⊥m2m1·m2=0.

        三、距离、夹角的利用

        在高中数学立体几何问题求解的过程中，就要借助于距离和夹角的一些条件，进而运用向量的运算，做好高中数学立体几何问题的求解.

        假设两条直线lm和ln的方向向量sm和sn的夹角是两条直线之间的夹角，在对cosθ=|cos（s1，s2）|=s1·s2|s1||s2|进行确定.

        首先就要假设直线l和平面上π上的投影夹角用θ表示，而θ=|π2-0〈s，n〉|，也即是sinθ=|cos〈s，n〉|=|s·n||s||n|.

        同时设两平面的夹角为θ，而平面π1和平面π2内部的法向量为n1和n2，如果0≤〈n1，n2〉≤π2，两个平面之间的夹角为π-〈n1，n2〉；当π2〈n1，n2〉

        总而言之，高中数学求解立体几何距离和夹角问题利用解析的过程中，主要是借助于平面外一点到平面的距离的合理计算，并对异面直线间的距离进行计算，进而获得的一种新的求解.在对高中数学立体几何中动态问题进行解析的过程中，主要是借助于几何的思想进行解决，一旦遇到立体几何问题的同时，就要本着动态的眼光，进而对空间几何思想加以借助，进而使得立体几何中相对复杂的问题逐渐的简单化.

        四、化曲为直思想的应用

        化曲为直的思想主要是指寻找一些直线段，进而找寻解题思路，这种思想是求线段最短的主要方法.如图2所示，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E在线段AA1上，同时线段A1E长1，F点是一个截面A1BD上的一个可以移动的点，问线段AF与FE和的最小值是多少.

        解析 在正方体内作平面D1B1C，从图中可以看出平面CB1D1和平面A1BD是平行关系.连接AC1与平面CB1D1交点为G，连接EG与平面BA1D的交点为F.由于GE与A1C1平行，因此此时线段AF和FE的和的最小值是GE=2A1C1/3=22.

        高中数学立体几何问题作为高中教学中的重点和难点，在实际的解析中，更要借助于向量和函数之间的关系，并对几何图形中几种常见的关系进行详细的分析，对合适的空间直角坐标系加以建立，对当前我们所学的立体几何图形中的一些向量关系，进而在立体几何中将线与线和线与面之间的关系找出，最后就要正确合理的运用向量之间的关系，将相应的立体几何问题进行全面的解析.