高二数学导数辅导教案

目标

    ① 了解导数概念的实际背景．

    ② 理解导数的几何意义．

（2）导数的运算

① 能根据导数定义，运算

    ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数．

（3）导数在研究函数中的应用

①了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

  ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

难点

堂

教

学

过

程

检查

建议__________________________________________

程

1、在处的导数及导函数的概念：

(1)函数在处的瞬时变化率称为在处的导数,即___________________.

（2）如果函数在开区间内可导，对于开区间内的每一个，都对应着一个导数  ，这样,在开区间内_____构成一个新的函数，这一个新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数，记作：

，导函数简称为导数。

2、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是________，相应地切线的方程是____________。

3、基本初等函数的导数公式：                      

4、导数的四则运算法则：

（为常数）； 

·

法则1： 

法则2： 

法则3： 

复合函数的求导法则： 

典例分类

一.导数运算

例1.求下列函数的导数：

（1）

（2）

3）

（4）

（5）

（6）

课堂练习:

1．设函数满足，则曲线在处的切线的斜率为_

2（全国Ⅰ）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是 （  ）

3.满足f(x)＝f ′(x)的函数是        （　）

A  f(x)＝1－x    B  f(x)＝x    C  f(x)＝0    D  f(x)＝1

4下列结论正确的是

①若则；

②若，则；

③若，则。

5．已知，则

6．函数在处的导

数为0，则常数

7、， 

则（      ）      

8．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则       (  )

A  f(x)=g(x)   B  f(x)－g(x)为常数函数  C  f(x)=g(x)=0   D  f(x)+g(x)为常数函数

9）设函数。若是奇函数，则__________。

10.设函数的导数为，则数列的前项和是

                . 

11  对于上可导的任意函数，若满足，则必有（     ）

A      B   

C       D   

12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，

且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是        （  ）

A  (－3，0)∪(3，+∞)  B  (－3，0)∪(0，3)  

C  (－∞，－3)∪(3，+∞)   D (－∞，－3)∪(0，3)

二.导数与切线(导数的几何意义)

例2已知曲线直线，且直线与曲线C相切，求直线的方程及切点的坐标。

课堂练习

1、若，则的值为_________________；

2．（全国Ⅰ文）曲线y=x－2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 （  ）

30°                45°               60°                 12°

3．（2006福建）已知直线与抛物线相切，则

已知直线是曲线的一条切线，则

4．（08全国I）设曲线在点处的切线与直线垂直，则( )

A．2    B．    C．        D． 

5（江苏）设直线是曲线的一条切线，则实数的值是  。

6.（08全国II）设曲线在点处的切与直线垂直，则     ．

7、曲线在点处的切线倾斜角为__________；

8．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f (x)可能为 （　）

9、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （     ）  

A．   　　　     B．    　　 C．    　　　 D． 

10、曲线f（x）=x3+x－2在其上一点P0处的切线平行于直线y=4x－1，则P0点的坐标是 （     ） 

A．（－1，－4）     B．（1，0）     C．（－1，0 ）    D．（1，0）或（－1，－4）

11、已知直线与曲线相切于点，则。

12.已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。

三.导数与单调区间

例3. 已知函数，（）．

（1）当时，证明函数只有一个零点；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．（此题为B级要求）

课堂练习

1．函数单调递增区间是（    ）

A．      B．    C．      D． 

2．函数的单调增区间为             ，单调减区间为___________________。

3．若在增函数，则的关系式为是            。

4．函数单调递增区间是（    ）

A．      B．    C．      D． 

5  函数的单调增区间为               

6已知是实数，函数,求函数的单调区间

四.导数与极值(最值)

例4已知函数，

（1）当，求函数的最小值；

（2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围。

课堂练习

1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。

2．函数在区间上的最大值是       。

3．函数的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D． 

4  函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，

则函数在开区间内有极小值点（  ）

A  个    B  个   C  个    D  个

5  设，当时，恒成立，则实数的取值范围为               

6．下列说法正确的是(    )

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值         D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

7．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) (   )

A.等于0            B.大于0    C.小于0            D.以上都有可能

8．函数y=，在［－1，1］上的最小值为(    )

A.0             B.－2    C.－1          D. 

9．函数在时有极值，那么的值分别为________

10函数在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为  

11.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （　）

A  1个  B  2个 C  3个 D  4个 

12．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，

（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。

13．设为常数，求函数在区间上的最大值和最小值。

五.导数应用(综合)

1、已知函数(x)=2ax―x3,x(0,1], a>0 

(1)若f(x)在x(0,1] 上是增函数,求a的取值范围;

(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值

2、设，（1）求函数的单调递增，递减区间；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。

3、已知f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=1与x=－时，都取得极值.

(1) 求 a,b的值； (2) 如对x∈[－1,2],都有f(x)<恒成立，求c的取值范围

4.周长为20的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为      

5（本小题满分10分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．

⑴求f(x)的解析式；

⑵求函数g(x)=f(x2)的单调递增区

6（本小题满分10分）

已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1与x＝－2时，都取得极值。

⑴求a，b的值；

⑵若x [－3，2]都有f(x)>恒成立，求c的取值范围。

7(本小题满分12分) 已知a为实数，。

⑴求导数；

⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；

⑶若在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围。

8．已知函数，

（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若是的极值点，求在上的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恰有3个交点，若存在 ，求出实数的取值范围；取不存在，试说明理由。

9．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去

四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长

为多少时，盒子容积最大？

10． 已知的图象经过点，且在处的切线方程是

（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。

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