数值分析思考题1

1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。

答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成

x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+ …an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x*至少有n个有效数字，即a1，a2，…，an为有效数字，而an+1，…，ak，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。

（2）相对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成

x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+ …an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若ak是有效数字，那么相对误差不超过;反之，如果已知相对误差r，且有，那么ak必为有效数字。

2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？

答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。

3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。

答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。

（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

4、 取        ，计算        ，下列方法中哪种最好？为什么？

（1），（2），（3），（4），（5）

答：（1）=0.183=0.005832；

（2）=0.52=0.25；

（3）=0.0050726；

（4）=0.00510385；

（5）=99-98.70=0.3；

由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。