2022-2023学年上海市杨浦区数学八年级第一学期期末考试试题含解析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1．分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值（　　）

A．不变    B．是原来的

C．是原来的5倍    D．是原来的10倍

2．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（  ）

A．8    B．7    C．6    D．5

3．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x＋k的图象大致是(　　)

A．    B．    C．    D．

4．下列命题的逆命题为假命题的是 (    )

A．有两角互余的三角形是直角三角形    B．如果，那么直线经过一、三象限

C．如果，那么点在坐标轴上    D．三边分别相等的两个三角形全等

5．下列关于的方程中一定有实数解的是（  ）

A．    B．    C．    D．

6．如图，在RtΔABC中，∠A = 90°，∠ABC的平分线交AC于点D，AD = 3，BC=10，则ΔBDC 的面积是（  ）

A．15    B．12    C．30    D．10

7．方程组的解中x与y的值相等，则k等于（   ）

A．－1    B．－2    C．－3    D．－4

8．一次函数满足，且y随x的增大而减小，则此函数的图像一定不经过(      )

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　 　）

A．7    B．8    C．9    D．10

10．下列关于的叙述错误的是（  ）

A．是无理数    B．

C．数轴上不存在表示的点    D．面积为的正方形的边长是

二、填空题(每小题3分,共24分)

11．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是_____．

12．若的平方根是±3，则__________．

13．如图，在中，，是边上两点，且所在的直线垂直平分线段，平分，，则的长为________．

14．命题“对顶角相等”的逆命题的题设是___________.

15．若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k=_____．

16．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形的边长之和为________．

17．如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点.设，，若，则__________（用含的式子表示）．

18．若分式方程有增根，则的值为__________．

三、解答题(共66分)

19．（10分）计算：

（1）﹣22×（π﹣3.14）0﹣|﹣5|×（﹣1）2019

（2）3x2y2﹣4x3y2÷（﹣2x）+（﹣3xy）2

20．（6分）勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：

（2）你能发现，，之间的关系吗？

（3）对于偶数，这个关系        （填“成立”或“不成立”）吗？

（4）你能用以上结论解决下题吗？

21．（6分）（1）解不等式．

（2）解不等式组．

22．（8分）小明遇到这样一个问题

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．

方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．

根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD．

23．（8分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．

24．（8分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　   　．

25．（10分）已知：如图，AD垂直平分BC，D为垂足，DM⊥AB，DN⊥AC，M、N分别为垂足．求证：DM=DN．

26．（10分）如图，已知A（0，4）、B（﹣2，2）、C（3，0）．

（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；

（2）求△A1B1C1的面积S．

参

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、C

【分析】分式的分子扩大到原来的25倍, 而分m+n母扩大到原来的5倍, 利用分式的基本性质, 此分式的值扩大到原来的5倍.

【详解】解：分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则分子扩大到原来的25倍, 而分m+n母扩大到原来的5倍，利用分式的基本性质, 此分式的值扩大到原来的5倍.

故选:C.

【点睛】

本题主要考查分式的基本性质.

2、C

【解析】试题解析：根据题意得：360°÷60°=6，

所以，该多边形为六边形.

故选C.

考点：多边形的内角与外角.

3、B

【解析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的图像经过第二、四象限，

∴k＜0，

∴一次函数y＝x＋k的图像与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．

故选B.

4、C

【分析】先逐一得出每个命题的逆命题，然后再判断真假即可．

【详解】A的逆命题是直角三角形有两角互余，是真命题，故该选项不符合题意；

B的逆命题是如果直线经过一、三象限，那么，是真命题，故该选项不符合题意；

C的逆命题是如果点在坐标轴上，那么，是假命题，故该选项符合题意；

D的逆命题是如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边相等，是真命题，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查逆命题和真假命题，会写出命题的逆命题是解题的关键．

5、A

【分析】根据一元二次方程根的判别式直接进行排除选项即可．

【详解】A、由可得：，故方程始终有两个不相等的实数根，故符合题意；

B、由可得：，当或时方程才有实数解，故不符合题意；

C、由可得：，所以方程没有实数根，故不符合题意；

D、由可得：，所以方程没有实数根，故不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

6、A

【分析】作垂直辅助线构造新三角形，继而利用AAS定理求证△ABD与△EBD全等，最后结合全等性质以及三角形面积公式求解本题．

【详解】作DE⊥BC，如下图所示：

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠EBD．

又∵∠A=∠DEB=90°，BD=BD，

∴，

∴DE=DA=1．

在△BDC中，．

故选：A．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，该题辅助线的做法较为容易，有角度相等以及公共边的提示，图形构造完成后思路便会清晰，后续只需保证计算准确即可．

7、B

【解析】分析：首先根据方程组的解法求出x和y的值，然后根据x=y得出k的值．

详解：解方程组可得：， ∵x与y的值相等，

∴ ，解得：k=－2，故选B．

点睛：本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解二元一次方程组就是利用消元的思想来进行，可以加减消元，也可以代入消元．本题中在解方程组的时候一定要讲k看作是已知数，然后进行求解得出答案．

8、C

【解析】y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．

【详解】∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，

∴k＜0，

∵kb<0，

∴b>0，

∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，

故选C．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.

9、B

【解析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．

【详解】在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC===10，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE=BC=3，

∴∠EFC=∠FCM，

∵∠FCE=∠FCM，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EC=EF=AC=5，

∴DF=DE+EF=3+5=2．

故选B．

10、C

【分析】根据无理数的定义、实数比较大小、实数与数轴的关系和正方形的面积公式逐一判断即可．

【详解】解：A．是无理数，故本选项不符合题意；

B． ，故本选项不符合题意；

C．数轴上存在表示的点，故本选项符合题意；    

D．面积为的正方形的边长是，故本选项不符合题意．

故选C．

【点睛】

此题考查的是实数的相关性质，掌握无理数的定义、实数比较大小、实数与数轴的关系和正方形的面积公式是解决此题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、55°或70°．

【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．

【详解】∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；

若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴它的底角为55°或70°．

故答案为55°或70°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．

12、1

【分析】根据平方根的定义先得到（±3）2=2a-1，解方程即可求出a．

【详解】解：∵2a-1的平方根为±3，

∴（±3）2=2a-1，

解得a=1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

13、1

【分析】根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰三角形的三线合一，得∠ACE=∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，则∠A=60°，进而求得∠B=30°，则BD=CD=AC，由此即可求得答案．

【详解】∵CE垂直平分AD，

∴AC=CD=1，

∴∠ACE=∠ECD，

∵CD平分∠ECB，

∴∠ECD=∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，

∴∠A=90°-∠ACE=60°，

∴∠B=90°-∠A=30°，

∴∠DCB=∠B，

∴BD=CD=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

14、两个角相等

【分析】交换原命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据命题的定义求解．

【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，

题设是：两个角相等

故答案为：两个角相等．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

15、．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．

【详解】解：∵是一个完全平方式，

∴，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

16、1

【分析】设正方形A，B的边长分别为a，b，根据图形构建方程组即可解决问题．

【详解】解：设正方形A，B的边长分别为a，b．

由图甲得：，

由图乙得：，化简得，

∴，

∵a+b>0，

∴a+b=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

17、

【分析】根据作图，结合线段的和差关系利用勾股定理求解即可.

【详解】根据作图得，BC=BD=a，AD=AE，

当AD=EC时，即AE=EC，

∴E点为AC边的中点，

∵AC=b，

∴AD=，

在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，AB=，

∴  

 解得，a=.

故答案为：.

【点睛】

此题考查了运用勾股定理求解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

18、

【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到，然后将的值代入整式方程求出的值即可．

【详解】∵

∴

∵若分式方程有增根

∴

∴

故答案是：

【点睛】

本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．

三、解答题(共66分)

19、（1）1；（2）14 x2y2

【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案；

（2）直接利用整式的乘除运算法则化简得出答案．

【详解】解：（1）原式＝－4×1－5×（－1）

=-4+5＝1；

（2）原式＝3x2y2＋2x2y2+9 x2y2＝14 x2y2.

【点睛】

此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

20、（1），，；（2）；（3）成立；（4）0

【分析】（1）根据表中的规律即可得出；

（2）由前几组数可得出，，之间的关系；

（3）另n=2k代入，，计算即可得出；

（4）根据（2）中的关系式，将进行合理的拆分，使之符合（2）中的规律即可计算得出．

【详解】解：（1）由表中信息可得，，，

故答案为，，．

（2）由于，

，

∵

即．

（3）令n=2k，则

，，

∵

，

由于 

即，

∴对于偶数，这个关系成立

（4）∵

由（2）中结论可知

∴

【点睛】

本题考查了勾股定理中的规律探究问题，解题的关键是通过表格找出规律，并应用规律．

21、（1）；（2）

【分析】（1）直接移项解不等式即可；

（2）先分别解一元一次不等式，再求交集即可.

【详解】解：（1）

；

（2）

解由①得：，

由②得：，

∴原不等式组的解集为.

【点睛】

本题是对一元一次不等式组的考查，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键.

22、见解析

【分析】方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC=2∠ACD．

方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC=2∠ACD．

方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF=2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠B=∠ACF，进而得出∠B=2∠ACD．

【详解】方法1：如图，∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°-∠ACD，

又∵BC=BD，

∴∠BCD=∠BDC，

∴△BCD中，

∠ABC=180°-∠BDC -∠BCD =180°-2∠BCD=180°-2（90°-∠ACD）=2∠ACD；

方法2：如图，作BE⊥CD，垂足为点E．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

又∵BC=BD，BE⊥CD，

∴∠ABC=2∠CBE，

∴∠ABC=2∠ACD；

方法3：如图，作CF⊥AB，垂足为点F．

∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，

∴∠A+∠ABC =∠BCF+∠ABC =90°，

∴∠A=∠BCF，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，

∴∠DCF=∠ACD，

∴∠ACF=2∠ACD，

又∵∠ABC +∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，

∴∠ABC =∠ACF，

∴∠ABC =2∠ACD．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．

23、证明见试题解析．

【解析】试题分析：首先根据∠ACD=∠BCE得出∠ACB=∠DCE，结合已知条件利用SAS判定△ABC和△DEC全等，从而得出答案.

试题解析：∵∠ACD=∠BCE   ∴∠ACB=∠DCE   又∵AC=DC   BC=EC  ∴△ABC≌△DEC ∴∠A=∠D

考点：三角形全等的证明

24、（1）详见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形，理由详见解析；（3）1．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；

（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB•AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．

【详解】（1）证明：∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：

由（1）得：EO＝FO，

又∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∵EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AC＝＝＝5，

△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，

∵122+52＝132，

即AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴△ABC的面积＝AB•AC＝×12×5＝30，

∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝1；

故答案为1．

【点睛】

本题考查了角平分线的概念，三角形的性质，矩形的判断以及四边形与几何动态综合，知识点综合性强，属于较难题型.

25、见解析．

【分析】根据垂直平分线的性质得到AC=AB，再利用等腰三角形的性质得到AD是角平分线，最后利用角平分线的性质即可得到结论．

【详解】证明：∵AD垂直平分BC，

∴AC=AB，即是等腰三角形，

∴AD平分∠BAC，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握各性质判定定理是解题的关键．

26、 (1) B1（﹣2，﹣2） (2) 1

【解析】试题分析：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点，分别找出A、B、C三点的对称点坐标，然后描出对称点，再连接可得△A1B1C1，根据图形可直接写出点B1的坐标即可；（2）利用矩形的面积减去周围多余小三角形的面积即可．

试题解析：

（1）如图△A1B1C1即为所求作，B1（﹣2，﹣2）；

（2）△A1B1C1的面积:S=4×5﹣（2×2+2×5+3×4）=1．