浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题

作者：应德勇

来源：《中学生数理化·高二高三版》2015年第03期

        当带电粒子在电场中受到静电力、重力以及其他的外力作用且有力做功时，粒子的动能将发生改变，粒子将做非匀速圆周运动，此时粒子的向心力将由这些力在圆周半径方向上的合力提供，通常利用牛顿第二定律和功能关系解决相关问题。

        一、考虑重力作用，利用牛顿第二定律和功能关系求解带电粒子在匀强电场中的圆周运动

        带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动的问题，是一类重要而典型的题型。在考虑重力作用的情况下，对于带电粒子在匀强电场中的圆周运动的处理通常是利用牛顿第二定律与功能关系。与不考虑重力的情况相比，主要是注意重力对解题的影响。

        例1

        如图1所示，在E=1×l03V/m的水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R=40cm，一带正电荷量q=l×10-4C的小滑块的质量m=40g，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2，求：

        （1）要使小滑块能运动到半圆形轨道的最高点L，小滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？

        （2）这样释放的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？（P为半圆形轨道的中点）

        解析：（1）小滑块刚能通过轨道最高点的条件是 ，解得 。小滑块由释放点到最高点的过程中，由动能定理得 ，解得

        （2）小滑块在从P点到最高点的过程中，由动能定理得 ，小滑块运动到P点时，由牛顿第二定律得 ，解得N=l.5N。

        点评：轨道模型的特点是轨道对物体的作用力参与提供物体做圆周运动的向心力，但不参与做功。

        二、考虑重力作用，带电粒子在匀强电场中做圆周运动的等效处理

        （一）带电粒子在竖直面内的圆周运动

        带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动时，分析在竖直面内的运动时常常会涉及一些能否会做完整的圆周运动问题，对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大，若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简洁。“等效法”的具体内容是先求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将 视为“等效重力加速度”。再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

        1.静电力与重力方向垂直，处理等效最高点问题。

        例2 如图2所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角θ=30。的斜面，AC部分为竖直平面内半径为R的圆弧轨道，斜面与圆弧

        图2轨道相切，整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。现有一个质量为m的小球，带正电荷量 ，要使小球能安全通过圆弧轨道，在O点的初速度应满足什么条件？

        解析：小球先在斜面上运动，受重力、静电力、支持力作用，然后在圆弧轨道上运动，受重力、静电力、轨道作用力作用，如图3所示，类比重力场，将静电力与重力的合力视为等效重力mg'，其大小为 即a=30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上做匀速运动。要使小球能安全通过圆弧轨道，在圆弧轨道的等效“最高点”（设为D点）满足等效重力刚好提供向心力，即 ，因为a=30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD=2R，令小球以最小初速度u0运动，由动能定理得 解得 。因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足

        点评：要使小球能做完整的圆周运动，就要使小球能安全地通过最高点，在重力场与匀强电场共同作用的场中，就要分析等效最高点，这与只有重力场时的最高点是不相同的，所以解决此类问题最好的方法是分析等效重力加速度。

        2.静电力与重力方向垂直，处理等效最低点问题。

        例3 如图4所示，一条长为L的细线上端固定在0点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直方向间的夹角为a。求：当细线与竖直方向间的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零？

        解析：（1）运动特点。小球在重力、静电力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动。

        （2）等效分析。对小球在B点时进行受力分析，如图5所示，将重力与静电力等效为一个恒力，将其称为等效重力得 ，小球做只受等效重力mg'与细线拉力的运动，可等效为单摆运动。

        （3）规律应用。如图6所示，根据单摆的对称运动规律可得，B点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零，是小球做单摆运动的最大位移处，另一最大位移处在小球释放的位置。根据对称性可得，当细线与竖直方向间的夹角满足p=2a时，则小球从这一位置由静止释放后至细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零。

        3.静电力与重力在同一条直线上。

        例4 如图7所示，绳长为L，一端固定在0点，另一端拴一个带电荷量为+q的小球，已知qE= 3mg，要使小球能在竖直面内做圆周运动，小球在A点的最小速度应是多少7

        解析：小球在A点受到重力mg和静电力qE作用，其合力为2mg，方向向上，用此合力代替重力场中的重力，则B点等效于小球只在重力场中运动时的“最高点”。要使小球恰能做圆周运动，则需小球在等效“最高点”B时，有 （此时TB=0），在小球从B点运动到A点的过程中，应用动能定理得 ，解得 。因此要想让小球在竖直面内做圆周运动，小球在A点的最小速度应为 。

        点评：在应用等效法处理圆周运动时，要注意等效最高点（最低点）与实际最高点（最低点）的区分，有些情况下等效最高点（最低点）与实际最高点（最低点）重合，有些情况下等效最高点（最低点）与实际最高点（最低点）则不重合。

        （二）带电粒子在水平面内的圆周运动

        带电粒子在水平面内做圆周运动时，由于重力会与支持力相互抵消，从而造成静电力等效代替重力的作用。

        例5 如图8所示，在光滑水平面上的O点系一长为l的绝缘细线，细线的另一端系一质量为m、带电荷量为q的小球，当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态。现给小球一垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面上开始运动，若v0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为多长？

        解析：因为初速度v0很小，所以小球摆动的幅度很小，即可将小球的运动视为简谐运动，类似于单摆模型，先求等效加速度，可以求得等效单摆周期，进而可以求得返回的时间。等效重力为mg'=qE，则等效重力加速度 ，根据单摆的周期表达式得 ，解得小球第一次回到平衡位置所需时间 。

        小结：圆周运动是高中物理重点研究的曲线运动之一，带电粒子在电场中做圆周运动是近年高考命题的热点之一。掌握好解决这类问题的基本方法，即牛顿第二定律与功能关系（在特定情景下灵活应用等效法），同学们在面对重力场与匀强电场中的圆周运动问题时就可以有充足的信心了！