导数研究函数零点问题

函数与x轴即方程根の个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数の大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根の个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0の关系；

第三步：解不等式（组）即可；

1、已知函数. 

(Ⅰ) 求f(x)の反函数の图象上图象上点(1,0)处の切线方程; 

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.

【答案】解:(Ⅰ)  f (x)の反函数,则y=g(x)过点(1,0)の切线斜率k=. 

.过点(1,0)の切线方程为:y = x+ 1 

(Ⅱ)  证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下. 

 因此,

所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕) 

2、已知函数(,为自然对数の底数).

(1)求函数の极值;

(2)当の值时,若直线与曲线没有公共点,求の最大值.

(1), 

①当时, ,为上の增函数,所以函数无极值. 

②当时,令,得,. 

,;,. 

所以在上单调递减,在上单调递增, 

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 

综上,当时,函数无极小值; 

当,在处取得极小值,无极大值. 

(2)当时,. 

直线:与曲线没有公共点, 

等价于关于の方程在上没有实数解,即关于の方程: 

                (*) 

在上没有实数解. 

①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 

②当时,方程(*)化为. 

令,则有. 

令,得, 

当变化时,の变化情况如下表:

从而の取值范围为.

所以当时,方程(*)无实数解, 

解得の取值范围是. 

综上,得の最大值为. 

3、已知函数，，且在区间上为增函数．

（1）求实数の取值范围；

（2）若函数与の图象有三个不同の交点，求实数の取值范围．

解：（1）由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立

即恒成立，又，∴，故∴の取值范围为  

（2）设，

令得或由（1）知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，，随の变化情况如下表：

综上，所求の取值范围为

4、 已知函数是实数集R上の奇函数，函数是区间[一1，1]上の减函数．

  (I)求aの值；

  (II) 若在x∈[一1，1]上恒成立，求tの取值范围．

  (Ⅲ) 讨论关于xの方程の根の个数。

    解：（I）是奇函数，则恒成立.    （II）又在[－1，1]上单调递减， 

    令

    则.

   （III）由（I）知

    令，，

    当上为增函数；

    上为减函数，

    当时，而，

    、在同一坐标系の大致图象如图所示，

    ∴①当时，方程无解. ②当时，方程有一个根.

      ③当时，方程有两个根.

5、.已知函数且在上の最大值为，

（1）求函数f(x)の解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内の零点个数，并加以证明。

（I）在上恒成立，且能取到等号

在上恒成立，且能取到等号

     在上单调递增

（II）

 ①当时，在上单调递增

       在上有唯一零点

    ②当时，当上单调递减

       存在唯一使

       得：在上单调递增，上单调递减

       得：时，，

时，，在上有唯一零点

      由①②得：函数在内有两个零点。

6、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数のの取值范围为，求：

（1）の解析式；

（2）若过点可作曲线の三条切线，求实数の取值范围．

解：（1）由题意得： 

∴在上；在上；在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：，∴    

（2）设切点Q， 

过

令，

求得：，方程有三个根。

需： 

故：；因此所求实数の范围为：                   

7、已知（为常数）在时取得一个极值，

 （1）确定实数の取值范围，使函数在区间上是单调函数；

 （2）若经过点A（2，c）（）可作曲线の三条切线，求の取值范围．

解：（1）∵函数在时取得一个极值，且，

，        ．

或时，或时，时，

，    在上都是增函数，在上是减函数．     ∴使在区间上是单调函数のの取值范围是        

（2）由（1）知．设切点为，则切线の斜率，所以切线方程为：．    将点代人上述方程，整理得：．         

      ∵经过点可作曲线の三条切线，∴方程有三个不同の实根．     设，则

    ，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故    得：．