椭圆常用结论及其推导过程

一 椭圆中的一些不等关系

（1）设椭圆（），是椭圆上任意一点，为椭圆的两个焦点，则：

①， 

例 已知是椭圆的左右焦点，是椭圆上的一点且，则此椭圆离心率的范围是______.

②（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）

③.

例 若椭圆上存在一点，使得到两个焦点的距离之比为，则此椭圆离心率的取值范围是______.

④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.

例 已知椭圆的左右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于，则椭圆的离心率取值范围为______.

④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 

二 椭圆焦点三角形的结论

（1）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则

例 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若面积为，则短轴长为_____.3

练习椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为_______. 

（2）已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点为椭圆短轴的端点，且最大值为.

例 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围_________.

（3）已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点为椭圆短轴的端点

例 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围_________.

（4）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则

例 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得则椭圆的离心率的取值范围_________.

三 椭圆的中点弦问题

（1）在椭圆中，若直线与椭圆相交于，两点，点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则

（2）在椭圆中，若直线与椭圆相交于，两点，点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则

例1 椭圆，以点为中点的弦所在直线的斜率为_____.（）

例2已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为_________.（）

练习1 已知椭圆的一条弦的斜率为，它与直线的交点恰为这条弦的中点，则的坐标为_____. 

练习2已知椭圆，则它的斜率为的弦中点的轨迹方程为_____.

（综合题） 已知椭圆过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率.

（1）求椭圆的方程； 

（2）求的角平分线所在的直线的方程； 

（3）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（不存在）

四 椭圆与直线的位置关系及其弦长公式

若椭圆，直线与椭圆交于，两点，则弦的长度为：

或

例 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，.

（1）求椭圆的离心率；

（2）如果，求椭圆的方程. 

练习1 已知椭圆，直线过点且与椭圆相交于两点，是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由.

练习2 已知椭圆，若直线与椭圆相交于不同的两点（不与左右顶点重合），且，求证：过定点，并求出定点的坐标.