2021年全国乙卷文科数学真题与答案解析(含一题多解及特殊解法)

时间：120分钟  满分：150分

注意事项:

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

2. 设，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.     B.     C.     D. 

4. 函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A. 和    B. 和2    C. 和    D. 和2

5. 若满足约束条件则的最小值为（    ）

A. 18    B. 10    C. 6    D. 4

6. （    ）

A.     B.     C.     D. 

7. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A.     B.     C.     D. 

8. 下列函数中最小值为4的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.     B.     C.     D. 

10. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A.     B.     C.     D. 

11. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A.     B.     C.     D. 2

12. 设，若为函数的极大值点，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，若，则_________．

14. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

20. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

21. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

 [选修4—5:不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

参

1.答案：A

分析：本题主要考查集合的并集和补集运算。

解析：本题主要考查集合的运算.由题意知，所以.故本题正确答案为A.

2.答案：C

分析：本题主要考查复数的四则运算。

解法1：用复数的乘法，有，所以.故本题正确答案为C.

解法2：有复数的除法，，

3.答案：A

分析：本题主要考查命题和四种复合命题的真假判断。

解析：由已知可得命题p为真命题，命题q为真命题，所以为真命题，故选A.

4.答案：C

分析：本题主要考查辅助角公式、最小正周期和最大值，关键是对三角函数式进行化简。

解析：本题主要考查三角函数.，所以的最小正周期为，值域为，所以的最大值为.故本题正确答案为C.

5.答案：C

分析：本题主要考查线性规划求目标函数的最值。

解法1：本题主要考查线性规划.作出约束条件下的可行域，如下图阴影部分所示，当直线经过点时，z取得最小值，此时.

故本题正确答案为C.

解法2：作出约束条件下的可行域，求出可行域三角形的三个顶点坐标，代入目标函数，比较可得，时，z取得最小值，此时.

6.答案：D

分析：本题主要考查三角倍角公式公式、诱导公式及其变形和运算。

解法1：原式.故本题正确答案为D.

解法2：原式=

7.答案：B

分析：本题主要考查几何概型概率计算。

解析：本题主要考查随机抽样..故本题正确答案为B.

8.答案：C

分析：本题主要考查二次函数的最值，基本不等式及其使用条件。

解析：本题主要考查函数的概念与性质和均值不等式.

A项，，则.故A项不符合题意.

B项，，，，所以，当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，所以.故B项不符合题意.

C项，，当且仅当即时，等号成立，所以.故C项符合题意.

D项，当时，.故D项不符合题意.故本题正确答案为C.

9. 答案：B

分析：本题主要考查函数解析式的有关计算及奇函数定义，分别求出各个选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

解法1：由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

解法2：由可知，函数关于中心对称，所以函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位后就关于中心对称，四个选项中只有关于中心对称，所以为奇函数.故本题正确答案为B.

10.答案：D

分析：本题考查异面直线所成角的求法，对于文科来说就用一般法，直接平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可；

解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接，，BP，设正方体棱长为x，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，即为所求角.因为，所以，，.

在中，由余弦定理可得，，因为，所以.故本题正确答案为D.

11.答案：A

分析：本题主要考查椭圆的几何性质、参数方程及二次函数求最值。

解法1：.由题意得：，设.则.因为，所以当时，，此时最大为.故本题正确答案为A.

解法2：设， 

则，所以当时，，此时最大为

12. 答案：D

分析：本小题主要考查三次函数的图象与性质，以及数形结合的数学思想和分类讨论思想，

结合图象对a进行分类讨论，画出图象，或者直接用导数和极值点进行讨论，由此确定正确选项.

解法1：显然根据备选答案，有.

因为x=a为函数的极大值点，也即为函数的一个零点

若，其图像如图①，此时，；若，其图像如图②，此时，.

综上，.

故选：D

解法2：因为，

令，得函数f(x)的两个极值点为a, .

要使a为极大值点，当a>0时，，即a-b<0,有a(a-b)<0,即; 

当a<0时，，即a-b>0，有a(a-b)<0,即;故答案为D

解法3.利用二阶导数求解。

因为，所以因为.

因为x=a为函数的极大值点，所以（导函数左增右减），由导数的几何意义，知，

即，所以

13.答案：

分析：本题主要考查两向量平行的条件。

解析：由已知，，则，故.

14.答案：

分析：本题主要考查双曲线的几何性质和点到直线的距离公式。

解析：由题意得，，，所以，因为，所以，所以双曲线的右焦点为，所以点到直线的距离为：.故本题正确答案为.

15.答案：

分析：本题主要考查正余弦定理的应用和三角形面积公式.

解析：根据题意得，，所以，因为，所以，，所以.因为，所以根据余弦定理得.又因为，所以，即，解得.故本题正确答案为.

16.答案：③④或②⑤

分析：本题是一道开放题，主要考查学生的空间想象能力，其关键是由三视图抽象出空间几何体的直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.

解析：当俯视图为图④时，右侧棱在左侧不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图.

当俯视图为图⑤时，顶部棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图.

故本题正确答案为③④或②⑤.

17. 答案：（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.

分析：本题主要考查平均数和方差的计算方法，以及根据条件对结论的判断。

解析：（1），

，

，

.

（2）依题意，，，显然，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.

18. 答案：解析：（1）略

（2）所以四棱锥的体积为：.

分析：本题主要考查（1）面面垂直的判定的求线段长度，一般采用面面垂直的判定定理来证明；

（2）棱锥的体积计算。

解析：（1）证明：因为底面ABCD，底面ABCD，

所以，

又因为，而PD、平面PBD，且，

所以平面PBD，

又因为平面PAM，

所以平面平面PBD.

（2）因为，所以，

设，则，

由（1）得平面PBD，则，

所以，

又因为四边形ABCD为矩形，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，即，所以，

则，

所以四棱锥的体积为：.

19.答案：（1），.（2）略

分析：本题主要考查（1）等差、等比数列的通项公式及等差中项；

（2）错位相减法及不等式的证明。

解析：（1）设，而，所以，

解得，所以，.

（2）因为，所以.

因为，所以，①

①×可得，②

①-②得，

所以，

所以，

所以当时，，所以.

20.答案：（1）；（2）

分析：本题主要考查（1）抛物线标准方程的求法；

（2）利用向量求斜率的最值。

解析：（1）因为拋物线的焦点F到准线的距离为2，

所以，

解得，

所以C的方程为.

（2）根据题意可得，设，.

所以，.

因为，

所以，，

所以，，

所以，

当且，即时取得等号，

所以直线OQ的斜率的最大值为.

21.答案：（1）见解析；（2）（1,a+1）,（-1，-a-1）.

分析：本题主要考查（1）利用导数研究函数的单调性及分类讨论；

（2）导数的几何意义及计算。

解析：（1）因为，

所以，

所以.

①当，即时，在R上恒成立，

所以函数在R上单调递增.

②当，即时，

解得到，，

并且当时，；

当时，；

当时，，

所以函数在、上单调递增，

在上单调递减.

综上所述：当时，函数在R上单调递增.

当时，函数在，上单调递增，

在上单调递减.

（2）设曲线过坐标原点的切线与曲线的切线为，

所以，

整理可得，

所以，

所以，

所以该切线与曲线的切点坐标为，且，

所以该切线方程为，

令，得到，

所以，

所以，

所以或，

当时，；当时，，

所以曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为、.

22.答案：（1），（为参数）；

（2）或.

分析：本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、圆的切线性质及学生的数算能力，是一道基础题.（1）直接利用圆心及半径可得的圆的标准方程，然后化为参数方程即可；（2）先求得过（4，1）的圆的切线直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

解析：（1）由题意，的普通方程为，

所以参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于1可得，

解得，所以切线方程为或，

将，代入化简得

或

23. 答案：（1）.（2）.

分析：本题主要考查绝对值不等式的解法和参数有关的恒成立问题的解法， 

（1）解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

解析：（1）解法一：时，，即求的解集.

当时，，得；

当时，，此时没有x满足条件；

当时，，得.

综上，解集为.

解法二：当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，由绝对值的几何意义

，要使恒成立，只须，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.