高一上学期第一次月考数学试卷及答案解析

数 学 试 题

考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（每小题5分,共60分）

1. 设集合,,则CAB=【 】

（A） （B）

（C） （D）

2. 已知集合,若,则的值为【 】

（A） （B） （C）1 ,  （D）4

3. 全集R,,,则图中阴影部分表示的集合是【 】

（A） （B）

（C） （D）

4. 设函数,若,则【 】

（A） （B） （C） （D）

5. 下列各组函数是同一函数的是【 】

与;与;

与;与.

（A） （B） （C） （D）

6. 已知函数的定义域为,且为奇函数,则的值可以是【 】

（A）2（B） （C）4（D）6

7. 已知定义在R上的增函数,满足,R,且,

,,则的值【 】

（A）一定大于0（B）一定小于0

（C）等于0（D）正负都有可能

8. 设,则函数的图象的大致形状是【 】

（A） （B） （C） （D）

9. 已知函数在上是增函数,函数是偶函数,则下列结论中正确的是【 】

（A） （B）

（C） （D）

10. 已知函数是R上的增函数,则实数的取值范围是【 】

（A）≤ （B）≤≤

（C）≤                    （D）

11. 定义一种运算,令（为常数）,且,则使函数的最大值为3的的集合是【 】

（A） （B） （C） （D）

12. 已知函数,若,则的取值范围是【 】

（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（每小题5分,共20分）

13. 函数的定义域是__________.

14. 已知集合,那么__________.

15. 已知定义在R上的函数,设,若函数与轴有且只有三个交点,则实数的取值范围是____________.

16. 设关于的不等式的解集为S,且,则的取值范围是__________.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知.

（1）若,求CRB;

（2）若,求的取值范围.

18.（本题满分12分）

已知函数,且.

（1）判断函数的奇偶性;

（2）判断函数在上的单调性,并用定义证明你的结论.

19.（本题满分12分）

已知函数（R）有最小值.

（1）求实数的取值范围;

（2）设为定义在R上的奇函数,且当时,,求的解析式.

20.（本题满分12分）

已知二次函数（）和.

（1）若为偶函数,试判断的奇偶性;

（2）若方程有两个不相等的实数根,当时,判断在上的单调性;

（3）当时,问是否存在的值,使满足≤≤1且的任意实数,不等式恒成立?并说明理由.

21.（本题满分12分）

某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元,每生产件,需另投入成本为,当年产量不足80件时,（万元）;当年产量不小于80件时,（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式;

（2）年产量为多少件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

22.（本题满分12分）

已知函数（N*,R,≤1）是定义在上的奇函数,的最大值为.

（1）求函数的解析式;

（2）若关于方程在上有解,求实数的取值范围.

河南宏力学校高一上学期第一次月考

数 学 试 题 解 析 版

考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（每小题5分,共60分）

1. 设集合,,则CAB=【 】

（A） （B）

（C） （D）

答案  【 C 】

解析  本题考查补集的定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作CUA,即

CUA.

根据补集的定义,本题中, CAB=.

2. 已知集合,若,则的值为【 】

（A） （B） （C）1 ,  （D）4

答案  【 A 】

解析  ∵,∴.

∴,即,解之得:.

3. 全集R,,,则图中阴影部分表示的集合是【 】

（A） （B）

（C） （D）

答案  【 C 】

解析  重要结论

如图所示,集合A , B将全集U分成了四部分,这四部分用集合表示如下:

（1）表示;

（2）表示(CU B);

（3）表示(CU A);

（4）表示(CU A)(CU B).

根据上述结论,本题中阴影部分表示的集合是(CU M).

∵R,,∴CU M.

∵,∴(CU M).

4. 设函数,若,则【 】

（A） （B） （C） （D）

答案  【 D 】

解析  ∵,∴.

∵,∴,∴.

∴.

5. 下列各组函数是同一函数的是【 】

与;与;

与;与.

（A） （B） （C） （D）

答案  【 B 】

解析  函数的相等

只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.

对于,函数与的定义域均为,但是,所以函数与表示的不是同一个函数;

对于,函数与的定义域均为R,但是,所以函数与表示的不是同一个函数;

对于,函数与的定义域均为,且,所以函数与表示的是同一个函数;

对于,函数的相等与用什么字母表示自变量和因变量没有关系,函数和函数表示的是同一个函数.

∴是同一函数的是.

6. 已知函数的定义域为,且为奇函数,则的值可以是【 】

（A）2（B） （C）4（D）6

答案  【 A 】

解析  若一个函数为奇函数或偶函数,即具有奇偶性,则函数的定义域关于原点对称.用区间表示奇函数或偶函数的定义域时,区间左右端点的和等于0.

∵函数的定义域为

∴,解之得:.

∴函数的定义域为

∵为奇函数

∴,解之得:.

7. 已知定义在R上的增函数,满足,R,且,

,,则的值【 】

（A）一定大于0（B）一定小于0

（C）等于0（D）正负都有可能

答案  【 A 】

解析  由题意可知,函数为定义在R上的奇函数.

∵,,

∴

∴

∴

∴,∴.

即的值一定大于0.

8. 设,则函数的图象的大致形状是【 】

（A） （B） （C） （D）

答案  【 B 】

解析  对于含有绝对值的函数,要把函数化为分段函数,将问题进行分段处理.

易知函数的图象与轴有两个交点,分别为和.当≥0时,的图象开口向上,对称轴为直线;当时,的图象开口向下.故符合题意的图象是【 B 】.

9. 已知函数在上是增函数,函数是偶函数,则下列结论中正确的是【 】

（A） （B）

（C） （D）

答案  【 D 】

解析  函数的图象是由函数的图象向左平移2个单位长度得到的,因为函数是偶函数,所以其图象的对称轴为轴,从而函数的图象的对称轴为直线.

 另外,因为函数是偶函数,所以,即,所以函数的图象关于直线对称,有

∵函数在上是增函数,∴函数在上为减函数

∵,∴,即.

10. 已知函数是R上的增函数,则实数的取值范围是【 】

（A）≤ （B）≤≤

（C）≤                    （D）

答案  【 B 】

解析  本题考查分段函数的单调性.解决分段函数的单调性问题时,一般要从两个方面考虑:

（1）分段函数在每一段上都具有相同的单调性,即各段同为增函数或各段同为减函数;

（2）要注意各段端点处的衔接情况.

要使分段函数是R上的增函数,需要满足在每一段上都是增函数,且从左到右每一段的最大值都小于或等于后一段的最小值,即每一段都单调但转折点不反超.

由以上描述,根据题意可得:,解之得:≤≤.

∴实数的取值范围是.

11. 定义一种运算,令（为常数）,且,则使函数的最大值为3的的集合是【 】

（A） （B） （C） （D）

答案  【 C 】

解析  本题为定义新运算问题,由题意可知运算的本质其实就是我们常遇到的取小问题:,所以,这样新运算问题就转化为了我们熟悉的问题了.如果是两个函数构成的取小函数问题,反映在两个函数的图象上,那么哪一个函数的图象部分在下方,就取哪一个函数的图象部分,作为取小函数图象的一部分.

本题中,（为常数）,设,,且当时,,解之得:,所以函数的图象经过两点.函数和的图象如下图所示.

根据函数和的图象可知,函数的的值图象如下图所示.

分析可知,当时,要使函数的最大值为3,则函数的图象必须经过点或,分别如下页图所示.

当函数的图象必须经过点时,,解之得:.

∵当时,函数的最大值大于3,不符合题意,舍去,∴;

当函数的图象必须经过点时,,解之得:或.

∵当时,函数的最大值大于3,不符合题意,舍去,∴.

综上所述,的值构成的集合是.

12. 已知函数,若,则的取值范围是【 】

（A） （B） （C） （D）

答案  【 A 】

解析  ∵,∴.

设,显然,函数为定义在R上的奇函数,且为减函数,∴.

∵,∴

∴,

∵函数为R上的减函数

∴,解之得:.

∴的取值范围是.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（每小题5分,共20分）

13. 函数的定义域是__________.

答案  

解析  由题意可知:,解之得:≥且.

∴函数的定义域为.

14. 已知集合,那么__________.

答案  

解析  根据集合代表元素的特征,集合M是由直线上的所有点构成的集合,集合N是由直线上的所有点构成的集合,两个集合表示的都是点集,因此,集合表示的是由直线与直线的交点构成的集合,即方程组的有序实数解.注意点集的表示.

解方程组得:,所以.

15. 已知定义在R上的函数,设,若函数与轴有且只有三个交点,则实数的取值范围是____________.

答案  

解析  解决分段函数的问题,常用数形结合的方法. 

   函数的图象如右图所示,根据

函数的图象,可以确定函数

的图象如下页图所示.

   函数与轴有且只有三个交点,即方程有三个不相等的实数根,设,也即函数的图象与直线有三个不同的交点.

   如上右图所示,实数的取值范围是.

16. 设关于的不等式的解集为S,且,则的取值范围是__________.

答案  

解析  ∵

∴2满足不等式,即;

3不满足不等式,即≥0,或者当时,分母,不等式无意义.

∴,解之得:≤或.

∵也符合题意

∴≤或≤9.

∴的取值范围是.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知.

（1）若,求CRB;

（2）若,求的取值范围.

解:（1）当时,.

∴, CRB

∴CRB;

（2）当时,则有,解之得:;

当时,则有:或,解之得:≤.

综上所述,的取值范围为.

18.（本题满分12分）

已知函数,且.

（1）判断函数的奇偶性;

（2）判断函数在上的单调性,并用定义证明你的结论.

解:（1）∵,∴,解之得:.

∴,函数的定义域为,关于原点对称.

∵

∴函数为奇函数;

（2）函数在上为增函数,理由如下:

任取,且,则有:

.

∵,且,∴

∴,∴.

∴函数在上为增函数.

19.（本题满分12分）

已知函数（R）有最小值.

（1）求实数的取值范围;

（2）设为定义在R上的奇函数,且当时,,求的解析式.

解:（1）.

∵函数有最小值

∴,解之得:≤≤2.

∴实数的取值范围为;

（2）∵为定义在R上的奇函数,∴.

∵当时,

∴当时,.

当时,,则

∴.

∴.

20.（本题满分12分）

已知二次函数（）和.

（1）若为偶函数,试判断的奇偶性;

（2）若方程有两个不相等的实数根,当时,判断在上的单调性;

（3）当时,问是否存在的值,使满足≤≤1且的任意实数,不等式恒成立?并说明理由.

解:（1）∵为偶函数,∴

∴,解之得:.

∴,其定义域为,关于原点对称.

∵

∴为奇函数;

（2）由得:.

∵方程有两个不相等的实数根

∴,∴或.

∵,函数的对称轴为直线

∴当,时,在上为增函数,

当,时,在上为减函数;

（3）存在,理由如下:

∵,∴,即

∵满足≤≤1且的任意实数,不等式恒成立

∴,解之得:.

∴存在,使满足≤≤1且的任意实数,不等式恒成立.

21.（本题满分12分）

某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元,每生产件,需另投入成本为,当年产量不足80件时,（万元）;当年产量不小于80件时,（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式;

（2）年产量为多少件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

解:（1）

当时,;

当≥80时,

∴;

（2）当时,

∴（万元）;

当≥80时,在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取得最大值,最大值为（万元）.

∵1000>950

∴当年产量为100件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.

22.（本题满分12分）

已知函数（N*,R,≤1）是定义在上的奇函数,的最大值为.

（1）求函数的解析式;

（2）若关于方程在上有解,求实数的取值范围.

解:（1）∵函数是定义在上的奇函数

∴,得.

∴当时,.

∵≤1,∴,∴.

∵N*,∴.

∴函数的解析式为;

（2）∵关于方程在上有解

∴方程在上有解

设,则在上单调递增

∴在上的值域为.

∴实数的取值范围为.