二次函数的图象和性质(1)教案

目标

2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.

3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.

1、二次函数的一般形式是怎样的？

2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？

1.探究：画二次函数的图象.

（1）列表：

在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？

观察表格中的数据，你有什么发现？

（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？

在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．

（3）连线：光滑的曲线顺次连接

点 A 与点 A′，点 B 与点 B′， …，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?

从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？

y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？

图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．

当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．

抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．

我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？

对称轴与图象的交点是___________；

图象的开口向_________；

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；

当x=_______时，函数值最_____．

一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2 （a>0）的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．

例 1  画二次函数的图象．

二、探究二次函数y=ax2(a＜0）的图象和性质

探究：我们已经会画的图象， 能不能从它得出二次函数的图象呢？

分析：把的图象沿着x轴翻折并将图象 “复制”出来， 就可以得到的图象.

画二次函数的图象．

在的图象上任取一点，它关于x轴的对称点Q的坐标是．如图所示，从点Q的坐标看出，点Q在的图象上．由此可知，的图象与 的图象关于x轴对称．因此只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到的图象．如图的绿色曲线．

观察图象，归纳与总结：

一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是________．当a>0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y随x的增大而_____，在对称轴的右侧，y随x的增大而_____．当a<0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而________．

例2  画二次函数的图象．

观察函数和图象的开口大小，你能得出什么结论？

观察函数和图象的开口大小，你又能得出什么结论？

三、抛物线的概念

在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=x2的图象相像吗？

以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2（a<0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2．

  一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y=ax2的顶点．

在教师的引导下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．

学生动手画图象．

对比画图．

归纳二次函数y=ax2(a＜0）的图象和性质．

通过实际问题理解抛物线的概念．

通过学生思考和交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验． 

培养学生画图能力．

体会二次函数y=ax2(a＜0）的图象和性质．

掌握y=ax2(a＜0）的图象和性质．

帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．

(1)图象的对称轴是         ， 顶点是           ,图象的开口向            ； 

(2)图象的对称轴是         ， 顶点是           ,图象的开口向            . 

2、如图所示，已知二次函数y=ax2的图象经过点A．

（1）求a的值；

（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．

3、已知函数的图象是开口向下的抛物线．

（1）求m的值；

（2）当x=3时，函数值是多少？当y=-6时，求x的值；

（3）试说明当x<3时，函数值的变化情况，并求当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？

4、底面是边长为x（cm）的正方形，高为0.5 cm的长方体的体积为y（cm3）．

（1）求y关于x的函数关系式，并画出函数图象；

（2）根据图象求出y=8 cm3时，底面边长x的值； 

（3）根据图象，求出x为何值时，y≥4.5 cm3．

1.探究：画二次函数的图象.

（1）列表：

（2）描点： 

（3）连线：