数学北师大版八年级下册最值问题专项练习

上课教师：吴敏

上课班级：   初2018级年级12班

教学课题：平面几何中的最值问题

教学目标：应用平面几何知识解决平面几何最值问题

教学重难点：

重点：分析问题实质并研究解决问题方案

难点：根据问题选择恰当的方法解决有关最值问题

教学内容及环节设计：

班级______姓名_________学号_____

一、回顾练习

1、（6周练）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是          。

2、（9周练）如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、

B（0，4）．O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，

则当P点坐标为           时，PC+PD的值最小。

3、（14周练）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为_____．

总结：运用几何方法解决平面几何最值问题的常用的方法有：

（1）_______________________________;

（2）________________________________;

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：

例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为_________.

练习1：平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在X、Y轴正半轴上移动，C在第一象限，求线段OC的最大值。

（2）应用垂线段最短的性质求最值；

例题2、如下图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是        ．

练2：如下图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　　．

练习3：已知A（-2,0），过C（t,）的直线与x轴交于B，F为线段BC上一点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FC以每秒2个单位的速度运动到C后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

（3）应用轴对称的性质求最值：

例题3、如图， △ABD中，AB=2，∠A=120°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD。点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值。

练习3：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为_____________.

拓展例题、如图，在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

练习

一、填空题：

1．等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为         . 

2.如图：△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90∘，AC=4，AD是角平分线，E，F分别是线段AC、AD上的动点，则EF+CF的最小值是________。

3.如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为          ．当P从A运动到B时，求CD中点M所走过的路径长为___________.

二、解答题：

4.如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

5．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE． 

（1）求证：DE⊥AG； 

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

 ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数； 

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

6. 已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图1，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的

最大值，及相应∠APB的大小.     

7.自己编一个最值问题：