高中数学三角函数专项训练(含答案)

一、填空题

1．如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是______.

2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．

3．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为___________

4．如图，某城市准备在由和以为直角顶点的等腰直角三角形区域内修建公园，其中是一条观赏道路，已知，，则观赏道路长度的最大值为______．

5．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为________．

6．已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有___________（填序号）.

①；

②方程所有根的和为；

③函数与函数图象关于对称.

7．在三棱锥中，，，异面直线PA，BC所成角为，，，则该三棱锥外接球的表面积为______．

8．已知函数的部分图像如图所示，设函数，则的值域为___________.

9．已知向量与的夹角为，，，向量的夹角为，，则的最大值是___________.

10．函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.

二、单选题

11．已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（       ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数，a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（       ）

A．     B．f (cos A)≤f (cos B)

C．f (sin A)≥f (sin B)    D．f (sin A)≥f (cos B)

13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（       ）

A．    B．    C．    D．

14．已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（       ）

A．    B．    C．    D．

15．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则函数在区间上的零点个数为（       ）

A．    B．    C．    D．

16．已知函数，且有，若函数的图象在内有个不同的零点，则的取值范围为（       ）

A．    B．    C．    D．

17．已知函数在上单调，且，则的值为（        ）

A．    B．    C．    D．

18．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（       ）

A．(1，9]    B．(3，9]

C．(5，9]    D．(7，9]

19．函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（       ）

A．    B．    C．    D．

20．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（        ）

A．    B．    C．    D．

三、解答题

21．函数与（其中，）在的图象恰有三个不同的交点，为直角三角形，求的取值范围．

22．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．

（1）写出函数的解析式；

（2）若时，，求的最小值．

23．已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．

（1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；

（2）求函数 f（x）的最大值；

（3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．

24．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.

（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；

（2）求面积的最大值.

25．已知的三个内角的对边分别为，且，

（1）求证：；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围.

26．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝，.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.

（1）当θ＝时，求∠OPQ的大小；

（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．

27．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； 

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

28．对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类” 函数.

（1）试判断，是否是“类” 函数，并说明理由；

（2）若函数，，为“类” 函数，求的最小值.

29．已知函数    

若的最小值为 - 3，求m的值；

当时，若对任意  都有恒成立，求实数a的取值范围.

30．已知函数,当时,函数的值域是.

(1)求常数,的值;

(2)当时,设,判断函数在上的单调性.

【参】

一、填空题

1．

2．

3．6

4．

5．

6．①③

7．

8．

9．25

10．-7

二、单选题

11．C

12．D

13．A

14．A

15．A

16．A

17．D

18．D

19．B

20．D

三、解答题

21．

【解析】

结合正余弦函数的交点的坐标可确定所给函数交点跟坐标相差半个周期，纵坐标相差且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需，由此可构造不等式求得结果.

【详解】

令，结合与图象可知：与，其交点坐标分别为，，，，．．．，

即彼此横坐标相差半个周期，纵坐标相差，且为等腰三角形．

为直角三角形，则其斜边上高为，

斜边长为，解得，；

，两图象不可能四个交点；

由，有，两图象有三个交点只需，

由得：.

【点睛】

本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.

22．（1）；（2）

【解析】

(1)根据函数图象的变换规律即可求得的解析式;

(2)令可求得则,设，，通过定区间讨论对称轴的三种情况的单调性,进而可确定最小值的情况.

【详解】

（1）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，可得得图象，

再向右平移个单位长度得．

（2）∵，，则，

令，则设，，

①当，即时，函数在上单调递增，

∴；

②当，即时，

函数在上单调递减，在上单调递增，

∴；

③当，即时，函数在上单调递减，

∴，

∴综上有．

【点睛】

本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.

23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k＝1008．

【解析】

（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；

（2）令，t∈[1，]，则当时，，

当时，，易知，分类比较、的大小即可得解；

（3）转化条件得当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，则x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解.

【详解】

（1）函数 f（x）的最小正周期为π．

（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1

＝asin2x﹣1＝a（sin2x+1），

令t，t∈[1，]，

当时，，

当时，，

∵即.

∴，

∵，，

∴当时，最大值为；当，最大值为.

（3）当a＝1时，f（x），

若f（x）＝0，则即，

∴当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，

∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为，π，

∴2015＝2×1007+1，

∴k＝1008．

【点睛】

本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.

24．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;

（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.

【详解】

（1）由题意可得：

∴

整理得

∴

∴

∴

又

∴

（2）在中,设,

由余弦定理得：,

∵为正三角形,

∴,

在中,由正弦定理得：,

∴,

∴,

∵

,

∵,

∴为锐角,,

,

,

∵

∴当时,.

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.

25．（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）由，联立，得，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；

（2）利用正弦定理和，得，再确定角C的范围，即可得到本题答案.

【详解】

解：（1）锐角中，，故由余弦定理可得：，

，

，即，

∴利用正弦定理可得：，

即，

，

可得：，

∴可得：，或（舍去），

.

（2），均为锐角，由于：，

，.

再根据，可得，

，

【点睛】

本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.

26．（1）.（2）.

【解析】

（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanα＝，将θ＝代入得答案；

（2）令f(θ)＝并利用导数求得f(θ)的最大值，即此时的，由（1）可知tanα＝，得答案.

【详解】

（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．

因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝ 

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)． 

展开并整理，得tanα＝，其中θ∈. 

此时当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.

故当θ＝时，∠OPQ＝. 

（2）设f(θ)＝，θ∈.

则f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足，

则，即 

列表如下：

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则， tanα单调递增

则当tanα取最大值时，α也取得最大值．

故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.

【点睛】

本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.

27．（1）（2）当，达到最大，最大值为

【解析】

（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.

（2）计算，得到，得的最值.

【详解】

（1）设，则在直角中，，.

在直角中，，

.

，，

所以当，即，的最大值为.

（2）在直角中，由，

可得.

在直角中，，

所以，，

所以

，

所以当，达到最大值.

【点睛】

本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.

28．（1）不是.见解析（2）最小值为7.

【解析】

（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.

（2），得到函数的单调区间，根据题意得到

，得到，得到答案.

【详解】

（1）不是.

假设为类函数，则存在，使得，

则，或者，，

由，

当，时，有，，

所以，可得，不成立；

当，时，有，，

所以，不成立，

所以不为类函数.

（2），则在单调递减，在单调递增，

又因为是类函数，

所以存在，满足，

由等式可得：，则，

所以，

则，所以得，

从而有，则有，即，

所以，则，

由，则，

令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，

使得，此时，因此的最小值为7.

【点睛】

本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.

29．（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)将函数化为，设，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.

(2) 对任意  都有恒成立, 等价于,然后求出函数的最值即可解决.

【详解】

（1），

令 ， 设，

①，则，

②，则，   

③，则，.（舍）

综上所述：.

（2）对任意都有恒成立，

等价于，

 ，，

，

 ， ，

综上所述：.

【点睛】

本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.

30．(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.

【解析】

【分析】

（1）先求得,再讨论和的情况,进而求解即可；

（2）由（1）,则,进而判断单调性即可

【详解】

解:(1)当时,,

所以,

①当时,由题意可得,

即,解得,；

②当时,由题意可得,

即,解得,

(2)由（1）当时,,,所以,

所以,

令,,解得,,

当时,,则,

所以函数在上单调递增,

同理,函数在上单调递减

【点睛】

本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力