2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)三角函数...

[知识能否忆起]

1．周期函数

(1)周期函数的定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

1．函数y＝tan的定义域是(　　)

A. 

B. 

C. 

D. 

解析：选D　∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.

2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)

A．y＝cos 2x　　　　　            B．y＝sin 2x

C．y＝tan 2x                      D．y＝sin

解析：选B　选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为，故选B.

3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是(　　)

A.　　　　　　　            B. 

C.                          D. 

解析：选C　作出函数y＝|sin x|的图象观察可知，函数y＝|sin x|在上递增．

4．比较大小，sin________sin.

解析：因为y＝sin x在上为增函数且－>－，故sin>sin.

答案：>

5．(教材习题改编)y＝2－3cos的最大值为________．此时x＝________.

解析：当cos＝－1时，函数y＝2－3cos取得最大值5，此时x＋＝π＋2kπ，从而x＝π＋2kπ，k∈Z.

答案：5　π＋2kπ，k∈Z

　  1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．

注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：

(1)y＝sin；(2)y＝sin.

2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．

[例1]　(1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．

(2)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)

A．[－1,1]　　　　　　　　　    B. 

C.                      D. 

[自主解答]　(1)要使函数有意义必须有

即

解得(k∈Z)，

∴2kπ∴函数的定义域为

.

(2)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.

[答案]　(1)　(2)C

若本例(2)中x∈，试求其值域．

解：令t＝sin x，则t∈[0,1]．

∴y＝t2＋t－1＝2－.

∴y∈[－1,1]．

∴函数的值域为[－1,1]．

由题悟法

1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：

(1)利用sin x、cos x的值域；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．

 以题试法

1．(1)函数y＝＋的定义域为________．

(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)

A.  B. 

C.  D. 

解析：(1)要使函数有意义

则⇒

利用数轴可得

函数的定义域是

.

(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，

故3sin∈即此时函数f(x)的值域是.

答案：(1)　(2)B

[例2]　(2012·华南师大附中模拟)已知函数y＝sin，求：

(1)函数的周期；

(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

[自主解答]　由y＝sin可化为y＝－sin.

(1)周期T＝＝＝π.

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以x∈R时，y＝sin的减区间为

，k∈Z.

从而x∈[－π，0]时，y＝sin的减区间为

，.

由题悟法

求三角函数的单调区间时应注意以下几点：

(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．

(2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．

(3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．

以题试法

2．(1)函数y＝|tan x|的增区间为________．

(2)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．aC．b解析：(1)作出y＝|tan x|的图象，观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，k∈Z.

(2)f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，因为函数f(x)在上单调递增，所以f所以c答案：(1)，k∈Z　(2)B

[例3]　(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，给出下面四个命题：

①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；

③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　　    B．2

C．3                          D．4

[自主解答]　函数f(x)＝sin＝－cos 2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在上是增函数，故④正确．综上可知，选C.

[答案]　C

由题悟法

1．三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．

2．求三角函数周期的方法

(1)利用周期函数的定义；

(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；

(3)利用图象．

3．三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

以题试法

3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)

A．y＝sin                  B．y＝cos

C．y＝sin                  D．y＝cos

(2)(2012·遵义模拟)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为(　　)

A.                              B．(0,0)

C.                              D. 

解析：(1)选A　对于选项A，注意到y＝sin＝cos 2x的周期为π，且在上是减函数．

(2)选C　由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.将x＝－代入得函数值为0. 

1．函数y＝的定义域为(　　)

A. 

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D．R

解析：选C　∵cosx－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

2．已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论错误的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

解析：选D　∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．

3．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)

A．x＝　　　　　　　　    B．x＝

C．x＝                      D．x＝

解析：选C　由T＝π＝得ω＝1，所以f(x)＝sin，则f(x)的对称轴为2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以x＝为f(x)的一条对称轴．

4．(2012·山东高考)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)

A．2－                      B．0

C．－1                      D．－1－

解析：选A　当0≤x≤9时，－≤－≤，－≤sin≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－，其和为2－.

5．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)

A.                      B. 

C.                      D. 

解析：选C　由f＝－2，得f＝－2sin＝－2sin＝－2，所以sin＝1.因为|φ|<π，所以φ＝.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

6．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)

A.                              B. 

C．2                              D．3

解析：选B　∵x∈，则ωx∈，要使函数f(x)在上取得最小值－2，则－ω≤－或ω≥，得ω≥，故ω的最小值为.

7．函数y＝cos的单调减区间为________．

解析：由y＝cos＝cos得

2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为(k∈Z)

答案： (k∈Z)

8．已知函数f(x)＝5sin (ωx＋2)满足条件f(x＋3)＋f(x)＝0，则正数ω＝________.

解析：f(x＋3)＋f(x)＝0⇒f(x＋6)＝f(x)，故f(x)以6为最小正周期，故＝6.又ω>0，∴ω＝.

答案：

9．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．

解析：∵y＝cos x的对称中心为(k∈Z)，

∴由2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z)．

∴当k＝2时，|φ|min＝.

答案：

10．设f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．

解：(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：定义域为

.

(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，

∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，

∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．

11．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cos x＝2sin xcos x＝sin 2x，

∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)∵－≤x≤，

∴－≤2x≤π，则－≤sin 2x≤1.

所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.

12．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间．

解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝

＝2cos x(sin x－cos x)

＝sin 2x－cos 2x－1

＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．

1． (2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝(　　)

A.                          B. 

C.                          D. 

解析：选A　由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

又0<φ<π，所以φ＝.

2．函数y＝f(cos x)的定义域为(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．

解析：由2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

得－≤cos x≤1.

故所求函数的定义域为.

答案：

3． (2012·汕头模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

解：(1)∵x∈，∴≤2x＋≤π，

∴－≤sin≤1，

又∵a>0，－5≤f(x)≤1，

∴即

(2)f(x)＝－4sin－1，

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得

－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得

＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，

单调递减区间为(k∈Z)．

1．(2012·湖南高考)函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]                      B．[－， ]

C．[－1,1]                      D. 

解析：选B　因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝＝sin，所以函数f(x)的值域为[－， ]．

2．(2012·温州模拟)已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是(　　)

A.                      B. 

C.                          D. 

解析：选A　由函数为偶函数知φ＝＋kπ(k∈Z)，又因为0<φ<π所以φ＝，从而y＝2cos ωx.又由条件知函数的最小正周期为π，故ω＝2，因此y＝2cos 2x.经验证知A满足条件．

3．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：

①它的最小正周期为π；

②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；

③它的图象关于点成中心对称图形；

④在区间上是增函数．

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．

答案：①②⇒③④(或①③⇒②④)

4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.

(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．

解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.

∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．

∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，

由已知上式对∀x∈R都成立，

∴cos φ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.

(2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.

又∵0<φ<，∴ <＋φ<π.

∴＋φ＝，φ＝.

∴f(x)＝sin.

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴f(x)的递增区间为，k∈Z.