为什么实对称矩阵一定可以正交对角化?

实对称矩阵为何能正交对角化？实对称矩阵具有特殊性质，其中特征值为实数且特征向量彼此正交，这是其正交对角化的基础。

若一个矩阵A满足一定条件，我们能通过酉矩阵将其对角化。对于实对称矩阵而言，除了满足上述性质外，还额外具有一特点。即所有特征值皆为实数，特征向量两两正交。

已知所有矩阵均可相似转化为Jordan型，假设实对称矩阵A满足特定条件，那么存在矩阵P，使得A相似于对角矩阵D。此时，我们有A=PDP^-1。

观察上式，我们发现D是对角矩阵，且A为对称矩阵。这意味着D也是对称矩阵。

因为A是对称矩阵，其性质决定了A的特征值皆为实数，特征向量两两正交，从而A能通过正交矩阵P对角化，转化为对角矩阵D。由于A同时具备Jordan型与对称性，可以推断出，A实际上就是对角矩阵。

关于正交性证明，其他答案已详细阐述，此处不再赘述。简而言之，实对称矩阵之所以能正交对角化，其根本在于其独特的性质，即所有特征值为实数且特征向量两两正交。这一性质使得实对称矩阵能通过正交矩阵实现对角化。