隐零点问题在函数零点分析中占有重要地位。所谓隐零点，指的是在函数极值分析过程中，通过导数求解零点，这些零点为原函数的极值点。当我们将导函数的零点代入原函数，以优化分析步骤时，即称为隐零点操作。
以下例题展示了隐零点代换的概念：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，求其最小值。
我们首先构造辅助函数$g(x) = (x-1)^3$。通过求导得到$g'(x) = 3(x-1)^2$。当$g'(x) = 0$时，得到$x = 1$为$g(x)$的极值点，此时$g(x)$的极小值为$g(1) = 0$。
但$g(x)$与原函数$f(x)$的关系尚未建立。于是我们构造另一个函数$h(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，同样求其导数$h'(x) = 3x^2 - 6x + 3$。假设$h'(x) = 0$时，得到$x = 1$为$h(x)$的极值点。
我们注意到$g(x)$与$h(x)$的最小值点均为$x = 1$。通过观察发现，$g(x)$的构造基于原函数$f(x)$中$x = 1$的特性。为将$g(x)$与$h(x)$关联起来，我们尝试将$g(x)$中的参数代入$h(x)$，即利用隐零点代换。
在$h(x)$中，我们尝试将$g(x)$中的$x = 1$代入，得到$h(1) = 0$。进一步分析$h(x)$的导数$h'(x) = 3x^2 - 6x + 3$，假设$h'(x) = 0$时，我们利用隐零点代换消去$g(x)$的参数，得到$h(x)$的极值与$g(x)$一致。
接下来，我们将$g(x)$与$h(x)$的关系代回原函数$f(x)$，求其最小值。利用隐零点代换，我们从$h(x) = 0$得到$f(x) = 0$。因此，$f(x)$的最小值为$0$。
对于等价命题：求$f(x)$的最小值，通过变形得到：根据$f(x) = (x-1)^3 - 1$，两边同除以$(x-1)^3$得$\frac{f(x)}{(x-1)^3} = -1$，作平移变换得$\frac{f(x)}{(x-1)^3} + 1 = 0$，即$f(x) = - (x-1)^3$。因此，$f(x)$的最小值为$0$。
等价命题的取等点为$x = 1$，对应$f(x)$的值约为$0$。通过隐零点代换操作，成功找到了原函数与辅助函数之间的关系，进而解决了最小值问题。
