一些e的n次方求和公式为：1+e+e^2+e^3+...+e^(n-1)+e^n=(e^(n+1)-1)/(e-1)。这个公式能够帮助我们快速计算出一系列e的幂次相加的结果。为了证明这个公式在任意自然数n上都成立，我们可以采用数学归纳法。
首先假设当n=k时，公式也成立，即：1+e+e^2+e^3+...+e^(k-1)+e^k=(e^(k+1)-1)/(e-1)。接下来我们需要证明当n=k+1时，公式仍然成立。
将n=k的公式代入右边的式子中，得到：(e^(k+1)-1)/(e-1)+e^(k+1)=(e^(k+2)-1)/(e-1)。通过化简可以得到：(e^(k+1)-1+e^(k+1)*(e-1))/(e-1)=(e^(k+2)-1)/(e-1)。化简后得到：(2*e^(k+1)-1)/(e-1)=(e^(k+2)-1)/(e-1)。
进一步化简可以得到：2*e^(k+1)-1=e^(k+2)-1。两边同时加1并除以e，得到：2*e^(k+1)/e=e^(k+2)/e，即2*e^k=e^(k+1)。显然，这个等式在任意自然数k上都成立。
因此，我们通过数学归纳法证明了e的n次方求和公式1+e+e^2+e^3+...+e^(n-1)+e^n=(e^(n+1)-1)/(e-1)在任意自然数n上都成立。
