标准正交向量组和标准正交基的区别



两者在定义、作用以及存在性上有明显的区别。
1、定义：标准正交向量组指的是一组向量，其中的每一个向量都是单位向量，且两两之间正交。也就是说，这些向量的模都是1，且任意两个向量的点积都是0。而标准正交基不仅是一组标准正交向量，还要求这组向量能够张成整个向量空间，也就是说，标准正交基是向量空间的一组基。
2、作用：标准正交向量组主要用于简化计算，因为正交性使得向量的投影和分解变得简单。而标准正交基除了具有简化计算的作用外，更重要的是它能够唯一地表示向量空间中的每一个向量，这是基的基本性质。
3、存在性：对于任何向量空间，都可以找到一组基，然后通过施密特正交化过程（Schmidtorthogonalization）和单位化过程得到一组标准正交基。但是，并不是所有的向量组都可以成为标准正交向量组。要成为标准正交向量组，必须是线性无关的，才能通过单位化和正交化过程得到。