求y"=y'+x的通解

结论是，我们可以通过代换和积分的方法求解微分方程(y''=y'+x)的通解。首先，将(y)替换为(p)，原方程化为(p=p+x)，这是一个类似于(dp/p=dx)的齐次线性微分方程。解这个齐次方程得到(p=Ce^x)，这里(C)为任意常数。

接下来，为了得到非齐次项的影响，我们可以令(C=u(x))，得到(p=ue^x)。将(p)写成(ue^x)的形式，代入原方程，可以解出(u=xe^{-x})。对(u)进行积分，我们得到(u=-x-1+C_1e^{-x})，这里(C_1)为另一个常数。

再将(u)代回(p)，得到(p=-x-1+C_1e^x)，即(dy=(-x-1+C_1e^x)dx)。对这个表达式积分，最终的通解形式为(y=-frac{x^2}{2}-x+C_1e^x+C_2)，其中(C_1)和(C_2)是两个的常数，它们共同构成了方程的通解。

总结来说，微分方程(y''=y'+x)的通解是(y=-frac{x^2}{2}-x+C_1e^x+C_2)，这个解包含了两个自由参数，代表了方程所有可能的解。