Jensen不等式：若函数f(x)在区间(a, b)上为凸函数，且x1、x2均属于(a, b)，则有以下不等式成立：
f[(x1 + x2) / 2] ≥ 1/2[f(x1) + f(x2)]
证明：要证明上述不等式，可以考虑以下转换：证明f[(x1 + x2) / 2] - f(x1) ≥ f(x2) - f[(x1 + x2) / 2]成立。
不妨设x1 < x2，定义函数g(x) = f(x) - f[(x1 + x2) / 2]，则g(x1) ≥ g(x2)，因为f(x)是凸函数，g(x)在(a, b)上也是凸函数。由于x1 < x2，根据凸函数的性质，g(x)在x = (x1 + x2) / 2时取得最小值，即g(x) ≥ 0。因此，f(x) ≥ f[(x1 + x2) / 2]，证明了原不等式。
不等式的特殊性质包括：
① 性质1：在不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
② 性质2：在不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③ 性质3：在不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
