合同矩阵有相同的特征值吗？

两个矩阵合同，只能保证正负惯性指数相等，也就是正负特征值个数相等，但并不能保证特征值相同。

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似。

但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似。

比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。

比如如下两个矩阵

1 0 1 1

0 1和 0 1，

显然它们的特征值都是1，1

但是不能对角化，

因为1 1 不能找到两个线性无关的特征向量

0 1

注意n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件就是A有n个线性无关的特征向量，不能只看特征值。

所以当这两个矩阵都是实对称矩阵时，都一定可以对角化，于是有相同的特征值就一定相似。