判断无穷级数的敛散性时，我们需要注意级数的类型以及适用的判别法。
例如在问题4中，你认为原式小于1/(n^2)，而1/(n^2)的级数是p>1的p-级数，是收敛的。因此你推断原级数也是收敛的。然而，这里的关键在于原级数并非正项级数，因此比较判别法不适用。实际上，由于级数中存在负项，即使部分项小于1/(n^2)，整个级数仍可能发散。
在问题8中，你认为级数发散是显而易见的。然而，忽略sin(pi/3^n)可能导致你错过了级数收敛的关键特性。实际上，由于sin函数的性质，该级数有可能收敛。这里的关键在于正确分析级数的每一项，而不仅仅是粗略估计。
至于问题14，你完全没有思路。实际上，这是一个交错级数的问题。交错级数的敛散性可以通过莱布尼茨判别法来判断，只要满足绝对值递减且极限为0的条件，级数就收敛。因此，问题的关键在于确定级数是否符合交错级数的条件，而非直接判断其发散。
总之，判断级数敛散性时，需要根据级数的类型选择合适的判别法。正项级数可使用比较判别法，交错级数则可考虑莱布尼茨判别法。在应用这些方法时，一定要仔细分析级数的每一项，确保符合相应条件。
总结来说，正确判断级数敛散性需要明确级数的类型，选择合适的判别法，并仔细分析每一项的特性。希望这些解释能帮助你更好地理解级数敛散性的问题。
