付里叶变换是一对变换，称为傅式变换对，它将时域信号f(t)转换为复频域F(jw)。这种变换用f(t) <--> F(jw)表示一个变换对，说明变换前后变量不同，左边的t是变量，右边的jw是变量。例如，余弦函数cos(wt)的付氏变换对为cos(wt) <--> pi[δ(w-w0) + δ(w+w0)]。
当w被替换为f时，这反映了付氏变换的一个性质，即对称性。如果f(t) <--> F(jw)，则F(jt) <--> 2πf(-w)。这表明在变换对中变量可以互换，但需要对应地调整系数。
在尺度变换性质中，f(at) <--> (1/|a|)F(jw/a)。当a=2π时，f(2πt) <--> (1/2π)F(jf)。这样可以将2π从变换中移除，但这改变了信号的形式，因此不能简单地移除2π。对于一般函数，通常将w=2πf代入，这样得到的频谱F(j2πf)才是f的函数，前面的系数保持不变。F(jf)不是原信号的频谱，研究它没有实际意义。
能量信号是指在有限时间内能量有限的信号，如门函数。这类信号的平均功率为0，因此只能研究其能量谱。功率信号则是功率有限而能量无限的信号，不能研究其能量谱。因此，能量信号只关注能量谱，而功率信号只关注功率谱。
门函数变上限积分不是三角波，而是两个门函数的卷积。卷积积分不同于普通的积分，它有自己的定义。三角波可以看作两个门函数的卷积结果。
关于希尔伯特变换，它是一种相移操作，将输入信号的正频率部分移相π/2，负频率部分移相-π/2。单边带调制涉及将信号m(t)和其希尔伯特变换m'(t)组合，通过cos和sin函数的相位差实现。m(t)和m'(t)之间有一个π/2的相位差，而m'(t)和sin乘积的相位差被抵消，形成cos相位。这样，m'(t)sinw0t的边带被抵消，仅保留m(t)cosw0t，形成单边带信号。
学习信号与系统时，建议参考吴大政的《信号与系统》这本书。信号的基本问题可以通过学习这本书来解决，它详细介绍了信号的基本概念和变换方法。
