对数是一种数学运算，表示一个数在另一个数为底时的指数。其定义为：如果a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log(a)N。这里a被称为对数的底数，N被称为真数。需要注意的是，零没有对数，且在实数范围内负数无对数，但在复数范围内负数有对数。
特别地，当底数为10时，这种对数称为常用对数，通常记作lgN；而当底数为自然常数e时，称为自然对数，通常记作lnN。
对于任意负数，例如-5，其自然对数具有周期性的多个值，即ln(-5)=(2k+1)πi+ln5，其中k为整数。
对数具有几个基本性质。例如，对于任意a>0，且a≠1，M>0，N>0，有：1、a^log(a)N=N（对数恒等式）；2、log(a)a=1；3、log(a)(M·N)=log(a)M+log(a)N；4、log(a)(M÷N)=log(a)M-log(a)N；5、log(a)M^n=nlog(a)M；6、log(a)b*log(b)a=1；7、log(a)b=log(c)b÷log(c)a（换底公式）。
对数的基本性质5可以推广，即log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]，其推导过程如下：由换底公式log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)，进一步得到log(a^n)(b^m)=[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]，最后得出log(a^n)(b^m)=(m÷n)×[log(a)(b)]。
换底公式的推导过程为：设e^x=b^m，e^y=a^n，则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y，其中x=ln(b^m)，y=ln(a^n)，进一步得到log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)。
