在证明tanα(1-sinα)/(1+cosα) = (1-cosα)/(tanα(1+sinα))成立时，我们可以采用多种方法。
证法之一：我们可以通过等式两边同时乘以tanα*(1+sinα)*(1+cosα)来证明。对于左边部分，我们得到tanα*tanα*cosα*cosα，化简后等于sinα*sinα。对于右边部分，我们得到sinα*sinα。因此，两边相等，证毕。
证法二：通过设定α=2β，对原等式进行化简，可以证明等式成立。具体而言，将α替换为2β后，等式左侧可以转换为tan2β(1-sin2β)/(1+cos2β)，右侧可以转换为(1-cos2β)/(tan2β(1+sin2β))。由于tan2β=2tanβ/(1-tan²β)，sin2β=2sinβcosβ，cos2β=1-2sin²β，通过这些公式进行化简后，可以发现等式依然成立。
证法三：利用万能公式，将sin、cos转换成tan的形式，再进行化简。这种方法虽然过程较为复杂，但同样可以证明等式成立。具体而言，万能公式包括：sinα=2tan(α/2)/(1+tan²(α/2))，cosα=(1-tan²(α/2))/(1+tan²(α/2))，tanα=2tan(α/2)/(1-tan²(α/2))。将这些公式代入原等式后，进行化简，可以发现等式依然成立。
