从重庆到延吉最便宜的行程方式是乘坐火车。以下是详细的行程安排、交通方式和住宿阐释：
1. 行程安排：
从重庆到延吉的最便宜火车票可以在12306官网或者携程、去哪儿等第三方平台查询并购买。乘坐火车的路线是重庆北站到长春站，然后换乘长春到延吉的火车。整个行程大约需要35小时左右。如果时间不充裕，可以考虑乘坐飞机，但需要购买折扣机票以降低成本。
2. 交通方式：
最便宜的交通方式是乘坐火车。重庆到长春的火车有多趟，其中最便宜的是K1082次列车，硬座票价约为198元。从长春到延吉的火车也有多趟，最便宜的是K727次列车，硬座票价约为41.5元。因此，整个行程的最便宜火车票约为239.5元。如果乘坐飞机，需要考虑机场到市区的交通费用，并且需要购买打折机票以降低成本。
3. 住宿：
延吉市的住宿选择较为丰富，可以根据个人的预算和需求选择合适的住宿地点。最便宜的住宿方式是青年旅社或者快捷酒店，价格在100元左右。如果需要更高档次的住宿，可以考虑选择四星级以上的酒店，价格在300元以上。同时，在延吉旅游期间，可以考虑选择当地的民宿或者家庭旅馆，价格相对较低，且可以体验当地的风土人情。
综上所述，从重庆到延吉最便宜的旅行方式是乘坐火车，需要约239.5元的交通费用。在延吉市的住宿选择较为丰富，可以根据个人预算和需求选择合适的住宿地点。
