公式 \( E^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2 \) 是相对论中的能量动量关系式，它描述了物体的能量（\( E \)）与其静止质量（\( m_0 \)）和动量（\( p \)）之间的关系。这个关系式可以通过以下步骤推导出来：
1. 首先，根据相对论中的质能等价公式，物体的能量 \( E \) 与其静止质量 \( m_0 \) 之间的关系为 \( E = m_0 c^2 \)，其中 \( c \) 是光速。
2. 然后，根据相对论中的洛伦兹因子，物体的相对论质量 \( m \) 与其静止质量 \( m_0 \) 和速度 \( v \) 之间的关系为 \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。
3. 将洛伦兹因子代入质能等价公式，得到物体的相对论能量 \( E \) 为 \( E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)。
4. 对上述能量公式进行平方，得到 \( E^2 = \left(\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right)^2 \)。
5. 展开平方后的公式，得到 \( E^2 = \frac{m_0^2 c^4}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)。
6. 由于 \( E^2 - \frac{E^2 v^2}{c^2} = \frac{m_0^2 c^4}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - \frac{E^2 v^2}{c^2} \)，因此可以将 \( E^2 - \frac{E^2 v^2}{c^2} \) 简化为 \( m_0^2 c^4 \)。
7. 最后，将动量的定义 \( p = mv \) 代入 \( c^2 p^2 \) 中，得到 \( c^2 p^2 = c^2 (mv)^2 = c^2 \left(\frac{E}{c^2} v\right)^2 = E^2 \frac{v^2}{c^2} \)。
8. 将 \( E^2 - \frac{E^2 v^2}{c^2} \) 和 \( c^2 p^2 \) 的结果相加，得到 \( E^2 = m_0^2 c^4 + c^2 p^2 \)。
这样，就完成了能量动量关系式的推导。
