给定的问题是关于求解两个自然数a和b，使得它们的平方和等于一个给定的数1977，并且满足特定的条件。
首先，我们设q² + r = 1977，其中q和r是整数，且r在1到a+b之间。由题意知a² + b² = q(a + b) + r。为了找到a和b的解，我们需要将这些方程结合起来。
从第一个方程中解出r，代入第二个方程，我们得到一个关于q、a和b的二次方程。由于q是实数，这个方程的判别式必须大于等于0。通过一系列代数操作，我们得到3a² - 2ab + 3b² - 4×1977 ≤ 0。
这个不等式必须有一个实数解，因此它的判别式也必须大于等于0。经过进一步计算，我们得到b ≤ 54，同理a也≤ 54。
接下来，我们利用这些条件来找出满足条件的a和b。由于ra + b ≤ 108，我们可以推断出q² = 1977 - r > 1869。这意味着q的取值范围在43到45之间，因为只有44的平方在1869和1977之间。
当q = 44时，我们可以解出r = 41。将r的值代入a² + b² = q(a + b) + r，我们得到一个新的方程(a - 22)² + (b - 22)² = 1009。
由于1009是一个完全平方数，其个位数只能是0, 1, 4, 5, 6, 或9。考虑到两个完全平方数相加得到1009，这两个数的末尾数字只能是0, 4, 5, 或9。
进一步分析，当a - 22的末尾为0时，b - 22的末尾只能为3或7；而当a - 22的末尾为2或8时，b - 22的末尾只能是5。结合a和b的取值范围（0 < a ≤ 54, 0 < b ≤ 54），我们可以验证出有四组解：(a, b) = (37, 50), (50, 37), (7, 50), (50, 7)。
